1. Problem: Dane są funkcje $f(x) = \log_{\frac{1}{3}}(x - 1)$, $g(x) = \log_{\frac{1}{3}}(x + 2)$, $h(x) = \log_3 x + 2$, $k(x) = \log_3 x - 1$. Znajdź, które dwie funkcje przechodzą przez punkt $P(1, -1)$ i naszkicuj je. 2. Sprawdzenie, które funkcje przechodzą przez punkt $P(1, -1)$: - Dla $f(1)$: $f(1) = \log_{\frac{1}{3}}(1 - 1) = \log_{\frac{1}{3}} 0$ - nieokreślone, więc $f$ nie przechodzi przez $P$. - Dla $g(1)$: $g(1) = \log_{\frac{1}{3}}(1 + 2) = \log_{\frac{1}{3}} 3$. Własność logarytmu: $\log_a b = c \iff a^c = b$. Sprawdźmy, czy $g(1) = -1$: $$\log_{\frac{1}{3}} 3 = -1 \iff \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = 3$$ Ponieważ $\left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = 3$, to $g(1) = -1$. - Dla $h(1)$: $h(1) = \log_3 1 + 2 = 0 + 2 = 2 \neq -1$. - Dla $k(1)$: $k(1) = \log_3 1 - 1 = 0 - 1 = -1$. Zatem funkcje $g$ i $k$ przechodzą przez punkt $P(1, -1)$. --- 3. Asymptota pionowa funkcji $f(x) = \log_3 (x + 2) - 1$ to miejsce, gdzie argument logarytmu jest zerem: $$x + 2 = 0 \implies x = -2$$ Asymptota pionowa to prosta $x = -2$, czyli odpowiedź B. --- 4. Wybór funkcji rosnącej na przedziale $(4, \infty)$: - Logarytm o podstawie większej niż 1 jest funkcją rosnącą. - Logarytm o podstawie między 0 a 1 jest funkcją malejącą. Sprawdźmy opcje: A. $f(x) = \log_{\frac{1}{5}}(x - 4)$ - podstawa $\frac{1}{5} < 1$, malejąca. B. $f(x) = \log_2 (x + 4)$ - podstawa 2 > 1, rosnąca. C. $f(x) = \log_2 (x - 4)$ - podstawa 2 > 1, rosnąca. D. $f(x) = \log_{\frac{1}{5}} (x + 4)$ - podstawa $\frac{1}{5} < 1$, malejąca. Na przedziale $(4, \infty)$ argumenty są dodatnie dla B i C. Zatem funkcje rosnące to B i C. Ponieważ pytanie wymaga jednej funkcji, wybieramy np. C. --- Podsumowanie: - Funkcje przechodzące przez $P(1, -1)$ to $g(x) = \log_{\frac{1}{3}}(x + 2)$ i $k(x) = \log_3 x - 1$. - Asymptota pionowa funkcji $f(x) = \log_3 (x + 2) - 1$ to $x = -2$. - Funkcja rosnąca na $(4, \infty)$ to $f(x) = \log_2 (x - 4)$.