1. **Énoncé du problème :** Nous avons une fonction logarithmique $N(t) = \log_c b(t+2)$ qui donne le nombre de personnes guéries en fonction du temps $t$ (en années) depuis l'administration du médicament. 2. **Données importantes :** - La courbe passe par l'origine, donc $N(0) = 0$. - Six jours après l'administration, soit $t = \frac{6}{365}$ années, $N\left(\frac{6}{365}\right) = 2$. - Le nombre total de personnes est 6, on cherche $t$ tel que $N(t) = 6$. 3. **Utilisation de la condition $N(0) = 0$ :** $$N(0) = \log_c b(0+2) = \log_c b(2) = 0$$ Or, $\log_c x = 0$ implique $x=1$, donc $$b(2) = 1 \implies b = \frac{1}{2}$$ 4. **La fonction devient :** $$N(t) = \log_c \left(\frac{t+2}{2}\right)$$ 5. **Utilisation de la donnée $N\left(\frac{6}{365}\right) = 2$ :** $$2 = \log_c \left(\frac{\frac{6}{365} + 2}{2}\right) = \log_c \left(\frac{\frac{6}{365} + 2}{2}\right)$$ Calculons l'intérieur du logarithme : $$\frac{\frac{6}{365} + 2}{2} = \frac{2 + \frac{6}{365}}{2} = 1 + \frac{3}{365} = \frac{365 + 3}{365} = \frac{368}{365}$$ Donc $$2 = \log_c \left(\frac{368}{365}\right)$$ 6. **Conversion en exponentielle :** $$c^2 = \frac{368}{365}$$ Donc $$c = \sqrt{\frac{368}{365}}$$ 7. **Trouver $t$ tel que $N(t) = 6$ :** $$6 = \log_c \left(\frac{t+2}{2}\right)$$ $$c^6 = \frac{t+2}{2}$$ $$t+2 = 2 c^6$$ $$t = 2 c^6 - 2$$ 8. **Calcul de $c^6$ :** $$c^6 = \left(\sqrt{\frac{368}{365}}\right)^6 = \left(\frac{368}{365}\right)^3$$ Calculons approximativement : $$\frac{368}{365} \approx 1.00822$$ $$1.00822^3 \approx 1.0248$$ 9. **Calcul final de $t$ :** $$t = 2 \times 1.0248 - 2 = 2.0496 - 2 = 0.0496 \text{ années}$$ 10. **Conversion en jours :** $$0.0496 \times 365 \approx 18.1 \text{ jours}$$ **Réponse finale :** Les six personnes seront guéries environ **18 jours** après l'administration du médicament.