1. **Planteamiento del problema:** Resolver el sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} 3 \log x - 2 \log y = 4 \\ \log(x \cdot y) = 3 \end{cases}$$ 2. **Fórmulas y reglas importantes:** - Propiedad de logaritmos: $\log(a \cdot b) = \log a + \log b$. - Para resolver sistemas con logaritmos, podemos usar propiedades para simplificar y luego resolver el sistema resultante. 3. **Desarrollo:** - De la segunda ecuación: $$\log(x \cdot y) = \log x + \log y = 3$$ Sea $a = \log x$ y $b = \log y$, entonces: $$a + b = 3$$ - La primera ecuación en términos de $a$ y $b$ es: $$3a - 2b = 4$$ - Tenemos el sistema lineal: $$\begin{cases} 3a - 2b = 4 \\ a + b = 3 \end{cases}$$ 4. **Resolviendo el sistema:** - De la segunda ecuación despejamos $a$: $$a = 3 - b$$ - Sustituimos en la primera: $$3(3 - b) - 2b = 4$$ $$9 - 3b - 2b = 4$$ $$9 - 5b = 4$$ $$-5b = 4 - 9$$ $$-5b = -5$$ $$b = \frac{-5}{-5} = 1$$ - Sustituimos $b=1$ en $a = 3 - b$: $$a = 3 - 1 = 2$$ 5. **Volviendo a $x$ y $y$:** - Recordando que $a = \log x$ y $b = \log y$: $$\log x = 2 \implies x = 10^2 = 100$$ $$\log y = 1 \implies y = 10^1 = 10$$ 6. **Respuesta final:** $$\boxed{x = 100, \quad y = 10}$$