1. Diberikan sistem persamaan: $$3x + 2y = \log_4 \left(18^{\frac{5}{4}}\right)$$ dan $$2x - y = \log_6 \left(\sqrt{1080}\right)$$ 2. Tujuan kita adalah mencari nilai dari $4x + 5y$. 3. Langkah pertama adalah menyederhanakan masing-masing logaritma. 4. Untuk persamaan pertama: $$\log_4 \left(18^{\frac{5}{4}}\right) = \frac{5}{4} \log_4 18$$ 5. Kita ubah basis logaritma ke basis 10 (atau basis lain yang sama) menggunakan rumus: $$\log_a b = \frac{\log b}{\log a}$$ 6. Jadi: $$\log_4 18 = \frac{\log 18}{\log 4}$$ 7. Untuk persamaan kedua: $$\log_6 \left(\sqrt{1080}\right) = \log_6 \left(1080^{\frac{1}{2}}\right) = \frac{1}{2} \log_6 1080 = \frac{1}{2} \frac{\log 1080}{\log 6}$$ 8. Sekarang kita substitusi nilai logaritma tersebut ke dalam sistem: $$3x + 2y = \frac{5}{4} \frac{\log 18}{\log 4}$$ $$2x - y = \frac{1}{2} \frac{\log 1080}{\log 6}$$ 9. Kita selesaikan sistem linear ini dengan metode substitusi atau eliminasi. 10. Kalikan persamaan kedua dengan 2 agar koefisien $y$ sama: $$4x - 2y = \frac{\log 1080}{\log 6}$$ 11. Tambahkan persamaan pertama dan persamaan hasil kali kedua: $$(3x + 2y) + (4x - 2y) = \frac{5}{4} \frac{\log 18}{\log 4} + \frac{\log 1080}{\log 6}$$ 12. Sederhanakan: $$7x = \frac{5}{4} \frac{\log 18}{\log 4} + \frac{\log 1080}{\log 6}$$ 13. Maka: $$x = \frac{1}{7} \left( \frac{5}{4} \frac{\log 18}{\log 4} + \frac{\log 1080}{\log 6} \right)$$ 14. Substitusi nilai $x$ ke persamaan pertama: $$3x + 2y = \frac{5}{4} \frac{\log 18}{\log 4}$$ 15. Jadi: $$2y = \frac{5}{4} \frac{\log 18}{\log 4} - 3x$$ 16. Maka: $$y = \frac{1}{2} \left( \frac{5}{4} \frac{\log 18}{\log 4} - 3x \right)$$ 17. Sekarang kita hitung $4x + 5y$: $$4x + 5y = 4x + 5 \times \frac{1}{2} \left( \frac{5}{4} \frac{\log 18}{\log 4} - 3x \right) = 4x + \frac{5}{2} \frac{5}{4} \frac{\log 18}{\log 4} - \frac{15}{2} x$$ 18. Gabungkan suku $x$: $$4x - \frac{15}{2} x = \left(4 - \frac{15}{2}\right) x = -\frac{7}{2} x$$ 19. Jadi: $$4x + 5y = -\frac{7}{2} x + \frac{25}{8} \frac{\log 18}{\log 4}$$ 20. Substitusi nilai $x$ dari langkah 13: $$4x + 5y = -\frac{7}{2} \times \frac{1}{7} \left( \frac{5}{4} \frac{\log 18}{\log 4} + \frac{\log 1080}{\log 6} \right) + \frac{25}{8} \frac{\log 18}{\log 4}$$ 21. Sederhanakan: $$= -\frac{1}{2} \left( \frac{5}{4} \frac{\log 18}{\log 4} + \frac{\log 1080}{\log 6} \right) + \frac{25}{8} \frac{\log 18}{\log 4}$$ 22. Pisahkan: $$= -\frac{5}{8} \frac{\log 18}{\log 4} - \frac{1}{2} \frac{\log 1080}{\log 6} + \frac{25}{8} \frac{\log 18}{\log 4} = \left( -\frac{5}{8} + \frac{25}{8} \right) \frac{\log 18}{\log 4} - \frac{1}{2} \frac{\log 1080}{\log 6}$$ 23. Hitung koefisien: $$\frac{20}{8} \frac{\log 18}{\log 4} - \frac{1}{2} \frac{\log 1080}{\log 6} = \frac{5}{2} \frac{\log 18}{\log 4} - \frac{1}{2} \frac{\log 1080}{\log 6}$$ 24. Jadi hasil akhirnya adalah: $$\boxed{4x + 5y = \frac{5}{2} \frac{\log 18}{\log 4} - \frac{1}{2} \frac{\log 1080}{\log 6}}$$ Ini adalah bentuk paling sederhana dari nilai $4x + 5y$ dalam bentuk logaritma.