1. Das Problem lautet: Expandieren Sie den Logarithmus $$\log \left( \frac{x^2 z^5}{\sqrt{y^5}} \right)$$ vollständig unter Verwendung der Logarithmeneigenschaften und drücken Sie das Ergebnis in Form von $\log x$, $\log y$ und $\log z$ aus. 2. Die verwendeten Logarithmengesetze sind: - $\log \frac{a}{b} = \log a - \log b$ - $\log (a^n) = n \log a$ - $\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}$ 3. Wenden wir diese Regeln an: $$\log \left( \frac{x^2 z^5}{\sqrt{y^5}} \right) = \log (x^2 z^5) - \log \left( y^{\frac{5}{2}} \right)$$ 4. Nun die Logarithmen des Zählers aufteilen: $$\log (x^2 z^5) = \log x^2 + \log z^5 = 2 \log x + 5 \log z$$ 5. Und den Nenner logarithmieren: $$\log \left( y^{\frac{5}{2}} \right) = \frac{5}{2} \log y$$ 6. Zusammengefasst ergibt sich: $$\log \left( \frac{x^2 z^5}{\sqrt{y^5}} \right) = 2 \log x + 5 \log z - \frac{5}{2} \log y$$ Das ist die vollständig expandierte Form des gegebenen Logarithmus in den Variablen $\log x$, $\log y$ und $\log z$.