1. Gegeben ist der Ausdruck $$\log \left( \frac{\sqrt{x^5}}{z^5 y^2} \right)$$. 2. Wir verwenden die Logarithmengesetze: $$\log \left( \frac{a}{b} \right) = \log a - \log b$$ und $$\log (a^r) = r \log a$$. 3. Zuerst schreiben wir den Ausdruck um: $$\log \left( \frac{\sqrt{x^5}}{z^5 y^2} \right) = \log \left( \sqrt{x^5} \right) - \log \left( z^5 y^2 \right)$$ 4. Die Wurzel schreiben wir als Potenz mit Exponent $\frac{1}{2}$: $$\sqrt{x^5} = x^{\frac{5}{2}}$$ 5. Somit gilt: $$\log \left( x^{\frac{5}{2}} \right) - \log \left( z^5 y^2 \right)$$ 6. Anwenden der Potenzregel: $$\frac{5}{2} \log x - \log \left( z^5 y^2 \right)$$ 7. Logarithmus eines Produkts zerlegen: $$\frac{5}{2} \log x - (\log z^5 + \log y^2)$$ 8. Erneut Potenzregel anwenden: $$\frac{5}{2} \log x - (5 \log z + 2 \log y)$$ 9. Klammern auflösen: $$\frac{5}{2} \log x - 5 \log z - 2 \log y$$ Endergebnis: $$\boxed{\frac{5}{2} \log x - 5 \log z - 2 \log y}$$