1. **Problema (a):** Risolvere $\log_2(x + 3) + \log_2(x) = 2$. Usiamo la proprietà dei logaritmi: $\log_b(m) + \log_b(n) = \log_b(m \cdot n)$. Quindi: $$\log_2((x+3) \cdot x) = 2$$ 2. Convertiamo l'equazione logaritmica in forma esponenziale: $$ (x+3)x = 2^2 $$ $$ x^2 + 3x = 4 $$ 3. Portiamo tutto a sinistra per formare un'equazione quadratica: $$ x^2 + 3x - 4 = 0 $$ 4. Risolviamo con la formula quadratica: $$ x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} $$ 5. Calcoliamo le soluzioni: $$ x_1 = \frac{-3 + 5}{2} = 1 $$ $$ x_2 = \frac{-3 - 5}{2} = -4 $$ 6. Verifichiamo il dominio: i logaritmi sono definiti solo per argomenti positivi. Per $\log_2(x)$ serve $x > 0$ e per $\log_2(x+3)$ serve $x+3 > 0 \Rightarrow x > -3$. Quindi $x=1$ è valido, $x=-4$ no. **Risposta (a):** $x=1$. --- 1. **Problema (b):** Risolvere $\log(x^2 + 3) = \log(4x)$. Se $\log(a) = \log(b)$ e $a,b > 0$, allora $a = b$. 2. Quindi: $$ x^2 + 3 = 4x $$ 3. Portiamo tutto a sinistra: $$ x^2 - 4x + 3 = 0 $$ 4. Risolviamo con la formula quadratica: $$ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} $$ 5. Calcoliamo le soluzioni: $$ x_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3 $$ $$ x_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1 $$ 6. Verifichiamo il dominio: $x^2 + 3 > 0$ sempre vero, ma $4x > 0 \Rightarrow x > 0$. Entrambe le soluzioni sono positive, quindi valide. **Risposta (b):** $x=1$ o $x=3$. --- 1. **Problema (c):** Risolvere $\log_3(2x - 1) - \log_3(x - 2) = 1$. Usiamo la proprietà: $\log_b(m) - \log_b(n) = \log_b(\frac{m}{n})$. 2. Quindi: $$ \log_3\left(\frac{2x - 1}{x - 2}\right) = 1 $$ 3. Convertiamo in forma esponenziale: $$ \frac{2x - 1}{x - 2} = 3^1 = 3 $$ 4. Moltiplichiamo entrambi i lati per $x-2$: $$ 2x - 1 = 3(x - 2) $$ 5. Svolgiamo: $$ 2x - 1 = 3x - 6 $$ 6. Portiamo tutto a sinistra: $$ 2x - 1 - 3x + 6 = 0 $$ $$ -x + 5 = 0 $$ 7. Risolviamo: $$ x = 5 $$ 8. Verifichiamo il dominio: $$ 2x - 1 > 0 \Rightarrow 2(5) - 1 = 9 > 0 $$ $$ x - 2 > 0 \Rightarrow 5 - 2 = 3 > 0 $$ Quindi $x=5$ è valido. **Risposta (c):** $x=5$. --- 1. **Problema (d):** Risolvere $\log_2(x - 1) \leq 3$. 2. Convertiamo in forma esponenziale: $$ x - 1 \leq 2^3 $$ $$ x - 1 \leq 8 $$ 3. Risolviamo: $$ x \leq 9 $$ 4. Verifichiamo il dominio: $$ x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1 $$ 5. Quindi la soluzione è: $$ 1 < x \leq 9 $$ **Risposta (d):** $x \in (1, 9]$. --- 1. **Problema (e):** Risolvere $\log_{\frac{1}{3}}(x - 2) > -1$. 2. Ricordiamo che la base $\frac{1}{3}$ è tra 0 e 1, quindi la funzione logaritmica è decrescente. 3. Convertiamo in forma esponenziale tenendo conto della base decrescente: $$ x - 2 < \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} $$ 4. Calcoliamo: $$ \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} = 3 $$ 5. Quindi: $$ x - 2 < 3 $$ $$ x < 5 $$ 6. Verifichiamo il dominio: $$ x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2 $$ 7. La soluzione è: $$ 2 < x < 5 $$ **Risposta (e):** $x \in (2, 5)$.