1. Problema: Reducir a un solo logaritmo las expresiones dadas. 2. Regla general: Para combinar logaritmos con la misma base, usamos las propiedades: - $a \log_b x = \log_b x^a$ - $\log_b x + \log_b y = \log_b (xy)$ - $\log_b x - \log_b y = \log_b \left(\frac{x}{y}\right)$ 3. Aplicamos estas reglas a cada expresión: i. $2 \log x + \log (x - 7) = \log x^2 + \log (x - 7) = \log \left(x^2 (x - 7)\right)$ ii. $3 \ln (x + 4) - 2 \ln (x - 8) = \ln (x + 4)^3 - \ln (x - 8)^2 = \ln \left(\frac{(x + 4)^3}{(x - 8)^2}\right)$ iii. $\log a + \log b + \log c - \log d = \log (abc) - \log d = \log \left(\frac{abc}{d}\right)$ iv. $\log_2 x - 3 \log_2 y + 2 \log_2 w = \log_2 x - \log_2 y^3 + \log_2 w^2 = \log_2 \left(\frac{x w^2}{y^3}\right)$ v. $\log_3 (x + 2) - 5 \log_3 (x - 5) = \log_3 (x + 2) - \log_3 (x - 5)^5 = \log_3 \left(\frac{x + 2}{(x - 5)^5}\right)$ vi. $\frac{1}{2} \ln (x + 2) + 2 \ln (x^2 + 1) = \ln (x + 2)^{\frac{1}{2}} + \ln (x^2 + 1)^2 = \ln \left(\sqrt{x + 2} (x^2 + 1)^2\right)$ vii. $3 \log (x - 1) - 2 \log (x - 5) + 4 \log (x + 3) - \log x = \log (x - 1)^3 - \log (x - 5)^2 + \log (x + 3)^4 - \log x = \log \left(\frac{(x - 1)^3 (x + 3)^4}{(x - 5)^2 x}\right)$ viii. $\ln 2 + 3 \ln (x + 9) - 2 \ln (x - 6) = \ln 2 + \ln (x + 9)^3 - \ln (x - 6)^2 = \ln \left(\frac{2 (x + 9)^3}{(x - 6)^2}\right)$ ix. $\frac{1}{3} \log_5 x - 2 \log_5 (x + 9) - \log_5 (x^2 + 2) = \log_5 x^{\frac{1}{3}} - \log_5 (x + 9)^2 - \log_5 (x^2 + 2) = \log_5 \left(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{(x + 9)^2 (x^2 + 2)}\right)$ x. $2[-\ln (x + 3) + 5 \ln (x + 6) - 3 \ln x] = 2[-\ln (x + 3)] + 2[5 \ln (x + 6)] - 2[3 \ln x] = -2 \ln (x + 3) + 10 \ln (x + 6) - 6 \ln x = \ln (x + 3)^{-2} + \ln (x + 6)^{10} + \ln x^{-6} = \ln \left(\frac{(x + 6)^{10}}{(x + 3)^2 x^6}\right)$ Respuesta final: i. $\log \left(x^2 (x - 7)\right)$ ii. $\ln \left(\frac{(x + 4)^3}{(x - 8)^2}\right)$ iii. $\log \left(\frac{abc}{d}\right)$ iv. $\log_2 \left(\frac{x w^2}{y^3}\right)$ v. $\log_3 \left(\frac{x + 2}{(x - 5)^5}\right)$ vi. $\ln \left(\sqrt{x + 2} (x^2 + 1)^2\right)$ vii. $\log \left(\frac{(x - 1)^3 (x + 3)^4}{(x - 5)^2 x}\right)$ viii. $\ln \left(\frac{2 (x + 9)^3}{(x - 6)^2}\right)$ ix. $\log_5 \left(\frac{x^{\frac{1}{3}}}{(x + 9)^2 (x^2 + 2)}\right)$ x. $\ln \left(\frac{(x + 6)^{10}}{(x + 3)^2 x^6}\right)$