1. **Énoncé du problème :** Soit la matrice $A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ -2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$. Nous devons : - Déterminer le polynôme caractéristique de $A$. - Montrer que $A$ est diagonalisable et trouver $D$ diagonale et $P$ inversible telles que $P^{-1}AP = D$. - Donner le polynôme minimal de $A$ sans calcul. - Calculer $A^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$. 2. **Polynôme caractéristique :** Le polynôme caractéristique $\chi_A(\lambda)$ est défini par $\det(\lambda I - A)$. Calculons $\lambda I - A$ : $$\lambda I - A = \begin{pmatrix} \lambda - 2 & 0 & -1 \\ -1 & \lambda - 1 & -1 \\ 2 & 0 & \lambda + 1 \end{pmatrix}$$ Calcul du déterminant : $$\det(\lambda I - A) = (\lambda - 2) \begin{vmatrix} \lambda - 1 & -1 \\ 0 & \lambda + 1 \end{vmatrix} - 0 + (-1) \begin{vmatrix} -1 & \lambda - 1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix}$$ $$= (\lambda - 2)((\lambda - 1)(\lambda + 1) - 0) - (-1)(-1 \cdot 0 - 2(\lambda - 1))$$ $$= (\lambda - 2)(\lambda^2 - 1) - 2(\lambda - 1)$$ $$= (\lambda - 2)(\lambda^2 - 1) - 2\lambda + 2$$ $$= (\lambda^3 - \lambda - 2\lambda^2 + 2) - 2\lambda + 2$$ $$= \lambda^3 - 2\lambda^2 - 3\lambda + 4$$ Donc, $$\boxed{\chi_A(\lambda) = \lambda^3 - 2\lambda^2 - 3\lambda + 4}$$ 3. **Diagonalisation :** Pour montrer que $A$ est diagonalisable, il faut que $\chi_A$ se décompose en facteurs linéaires distincts et que la somme des dimensions des espaces propres soit égale à 3. Cherchons les racines de $\chi_A(\lambda)$ par essais : - $\lambda=1 : 1 - 2 - 3 + 4 = 0$ donc $1$ est racine. - Divisons $\chi_A(\lambda)$ par $(\lambda - 1)$ : $$\lambda^3 - 2\lambda^2 - 3\lambda + 4 = (\lambda - 1)(\lambda^2 - \lambda - 4)$$ Les racines de $\lambda^2 - \lambda - 4 = 0$ sont $$\lambda = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$$ Ces racines sont réelles et distinctes. Ainsi, $A$ a trois valeurs propres distinctes : $$\lambda_1 = 1, \quad \lambda_2 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}, \quad \lambda_3 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$$ Donc $A$ est diagonalisable. 4. **Matrice $D$ diagonale et matrice $P$ inversible :** - $D = \mathrm{diag}(1, \frac{1 + \sqrt{17}}{2}, \frac{1 - \sqrt{17}}{2})$ - $P$ est la matrice dont les colonnes sont les vecteurs propres associés à ces valeurs propres. Pour chaque $\lambda_i$, on résout $(A - \lambda_i I)\mathbf{v} = 0$ pour trouver $\mathbf{v}_i$. 5. **Polynôme minimal :** Le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique et annule $A$. Comme $A$ est diagonalisable avec trois valeurs propres distinctes, le polynôme minimal est le produit des facteurs linéaires associés : $$\boxed{\mu_A(\lambda) = (\lambda - 1)(\lambda - \frac{1 + \sqrt{17}}{2})(\lambda - \frac{1 - \sqrt{17}}{2})}$$ 6. **Calcul de $A^n$ :** Puisque $A$ est diagonalisable, on a $$A = P D P^{-1} \implies A^n = P D^n P^{-1}$$ où $$D^n = \mathrm{diag}\left(1^n, \left(\frac{1 + \sqrt{17}}{2}\right)^n, \left(\frac{1 - \sqrt{17}}{2}\right)^n\right)$$ Ainsi, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $$\boxed{A^n = P \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \left(\frac{1 + \sqrt{17}}{2}\right)^n & 0 \\ 0 & 0 & \left(\frac{1 - \sqrt{17}}{2}\right)^n \end{pmatrix} P^{-1}}$$ Cela conclut la résolution complète de l'exercice.