1. **Énoncé du problème :** Nous avons la matrice $$M=\begin{bmatrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{bmatrix}$$ Nous devons : - Calculer $M^2$ et vérifier que $M^2 = M + 2I_3$. - En déduire que $M$ est inversible et exprimer son inverse en fonction de $M$. --- 2. **Calcul de $M^2$ :** $$M^2 = M \times M = \begin{bmatrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{bmatrix}$$ Calculons chaque élément : - Première ligne, première colonne : $0\times0 + 1\times1 + 1\times1 = 0 + 1 + 1 = 2$ - Première ligne, deuxième colonne : $0\times1 + 1\times0 + 1\times1 = 0 + 0 + 1 = 1$ - Première ligne, troisième colonne : $0\times1 + 1\times1 + 1\times0 = 0 + 1 + 0 = 1$ - Deuxième ligne, première colonne : $1\times0 + 0\times1 + 1\times1 = 0 + 0 + 1 = 1$ - Deuxième ligne, deuxième colonne : $1\times1 + 0\times0 + 1\times1 = 1 + 0 + 1 = 2$ - Deuxième ligne, troisième colonne : $1\times1 + 0\times1 + 1\times0 = 1 + 0 + 0 = 1$ - Troisième ligne, première colonne : $1\times0 + 1\times1 + 0\times1 = 0 + 1 + 0 = 1$ - Troisième ligne, deuxième colonne : $1\times1 + 1\times0 + 0\times1 = 1 + 0 + 0 = 1$ - Troisième ligne, troisième colonne : $1\times1 + 1\times1 + 0\times0 = 1 + 1 + 0 = 2$ Donc $$M^2 = \begin{bmatrix}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2\end{bmatrix}$$ 3. **Vérification de l'égalité $M^2 = M + 2I_3$ :** Calculons $M + 2I_3$ où $$I_3 = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$ Donc $$M + 2I_3 = \begin{bmatrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{bmatrix} + 2 \times \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0+2 & 1+0 & 1+0 \\ 1+0 & 0+2 & 1+0 \\ 1+0 & 1+0 & 0+2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2\end{bmatrix}$$ On constate que $$M^2 = M + 2I_3$$ 4. **En déduire que $M$ est inversible et exprimer son inverse :** L'égalité $$M^2 = M + 2I_3$$ peut se réécrire comme $$M^2 - M - 2I_3 = 0$$ Factorisons cette expression en considérant $M$ comme une variable : $$M^2 - M - 2I_3 = (M - 2I_3)(M + I_3) = 0$$ Cela signifie que $$(M - 2I_3)(M + I_3) = 0$$ Si $M$ était non inversible, alors $M - 2I_3$ ou $M + I_3$ serait non inversible. Mais ici, on peut isoler $I_3$ : $$M(M - I_3) = 2I_3$$ Donc $$M(M - I_3) = 2I_3 \implies M^{-1} = \frac{1}{2}(M - I_3)$$ Ainsi, $M$ est inversible et son inverse est $$\boxed{M^{-1} = \frac{1}{2}(M - I_3)}$$