1. **Énoncé du problème :** On a une application linéaire $f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ définie par $$f(e_1) = 2e_1 + e_2 - e_3, \quad f(e_2) = 3e_2 - 2e_3, \quad f(e_3) = e_3,$$ avec $B = (e_1, e_2, e_3)$ la base canonique de $\mathbb{R}^3$. 2. **Déterminer la matrice $A$ associée à $f$ dans la base $B$ :** La matrice $A$ a pour colonnes les images des vecteurs de la base exprimées dans $B$ : $$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ -1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$$ 3. **Calculer le polynôme caractéristique de $A$ :** Le polynôme caractéristique est $\chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda I)$ où $I$ est la matrice identité : $$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 2-\lambda & 0 & 0 \\ 1 & 3-\lambda & 0 \\ -1 & -2 & 1-\lambda \end{pmatrix}$$ Calcul du déterminant : $$\det(A - \lambda I) = (2-\lambda) \cdot \det \begin{pmatrix} 3-\lambda & 0 \\ -2 & 1-\lambda \end{pmatrix} = (2-\lambda)((3-\lambda)(1-\lambda) - 0)$$ $$= (2-\lambda)(3-\lambda)(1-\lambda)$$ 4. **Valeurs propres de $A$ :** Les racines du polynôme caractéristique sont les valeurs propres : $$\lambda_1 = 2, \quad \lambda_2 = 3, \quad \lambda_3 = 1$$ 5. **Vecteurs propres associés :** Pour chaque $\lambda$, on résout $(A - \lambda I)X = 0$. - Pour $\lambda=2$ : $$(A - 2I) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & -2 & -1 \end{pmatrix}$$ Système : $$\begin{cases} 0=0 \\ x_1 + x_2 = 0 \\ -x_1 - 2x_2 - x_3 = 0 \end{cases}$$ De la deuxième équation : $x_1 = -x_2$. Substituons dans la troisième : $-(-x_2) - 2x_2 - x_3 = x_2 - 2x_2 - x_3 = -x_2 - x_3 = 0 \Rightarrow x_3 = -x_2$. Choisissons $x_2 = t$, alors $$X = \begin{pmatrix} -t \\ t \\ -t \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$ Vecteur propre associé : $v_1 = (-1,1,-1)$. - Pour $\lambda=3$ : $$(A - 3I) = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ -1 & -2 & -2 \end{pmatrix}$$ Système : $$\begin{cases} -x_1 = 0 \\ x_1 = 0 \\ -x_1 - 2x_2 - 2x_3 = 0 \end{cases}$$ De la première et deuxième : $x_1=0$. La troisième devient $-2x_2 - 2x_3 = 0 \Rightarrow x_2 + x_3 = 0 \Rightarrow x_3 = -x_2$. Choisissons $x_2 = s$, alors $$X = \begin{pmatrix} 0 \\ s \\ -s \end{pmatrix} = s \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$ Vecteur propre associé : $v_2 = (0,1,-1)$. - Pour $\lambda=1$ : $$(A - I) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ -1 & -2 & 0 \end{pmatrix}$$ Système : $$\begin{cases} x_1 = 0 \\ x_1 + 2x_2 = 0 \\ -x_1 - 2x_2 = 0 \end{cases}$$ De la première : $x_1=0$. La deuxième : $2x_2=0 \Rightarrow x_2=0$. La troisième est alors $0=0$. Donc $x_3$ libre, posons $x_3 = r$. Vecteur propre associé : $v_3 = (0,0,1)$. 6. **Montrer que ces vecteurs propres forment une base $B'$ :** Les vecteurs $v_1, v_2, v_3$ sont linéairement indépendants car chacun a une composante unique non nulle différente des autres. Ils forment donc une base $B'$ de $\mathbb{R}^3$. 7. **Matrice de passage $P$ de $B$ à $B'$ :** $P$ a pour colonnes les vecteurs propres exprimés dans $B$ : $$P = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$ 8. **Calcul de $D = P^{-1} A P$ :** Par construction, $D$ est la matrice diagonale des valeurs propres : $$D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 9. **Montrer que $D$ est inversible :** Les valeurs propres sont non nulles ($2,3,1$), donc $\det(D) = 2 \times 3 \times 1 = 6 \neq 0$, donc $D$ est inversible. 10. **Calcul de $D^{-1}$ :** $$D^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 11. **Calcul de $D^2$ et $D^3$ :** $$D^2 = \begin{pmatrix} 2^2 & 0 & 0 \\ 0 & 3^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$D^3 = \begin{pmatrix} 2^3 & 0 & 0 \\ 0 & 3^3 & 0 \\ 0 & 0 & 1^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 0 & 27 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 12. **Déduire $D^n$ :** Pour tout entier $n \geq 1$, $$D^n = \begin{pmatrix} 2^n & 0 & 0 \\ 0 & 3^n & 0 \\ 0 & 0 & 1^n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2^n & 0 & 0 \\ 0 & 3^n & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$