1. **Planteamiento del problema:** Se nos dan las matrices $$A=\begin{pmatrix}-2 & 1 \\ 3 & -2\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & -1\end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix}3 & -1 \\ -3 & 3\end{pmatrix}$$ Y debemos resolver tres apartados: 2.1.1 Encontrar la matriz $X$ que satisface la ecuación $$(A^{-1}X)^{-1} = A(B^2 A)^{-1}$$ 2.1.2 Calcular el determinante de la matriz $$(3A^5 B)^2$$ 2.1.3 Encontrar los valores $a$ y $b$ tales que $$a B^{100} + b B^{99} = A + C$$ --- 2. **Resolución 2.1.1:** Dada la ecuación $$(A^{-1}X)^{-1} = A(B^2 A)^{-1}$$ Recordemos que para matrices invertibles, $$(MN)^{-1} = N^{-1} M^{-1}$$ y $$(M^{-1})^{-1} = M$$. Aplicamos inversa a ambos lados: $$A^{-1} X = \left(A(B^2 A)^{-1}\right)^{-1} = (B^2 A) (A)^{-1}$$ Porque: $$\left(A(B^2 A)^{-1}\right)^{-1} = (B^2 A) (A)^{-1}$$ Multiplicamos ambos lados por $A$ a la izquierda para despejar $X$: $$X = A (B^2 A) A^{-1}$$ Ahora calculamos paso a paso: - Calcular $B^2 = B \times B$: $$B^2 = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & -1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot1 + 2\cdot0 & 1\cdot2 + 2\cdot(-1) \\ 0\cdot1 + (-1)\cdot0 & 0\cdot2 + (-1)\cdot(-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = I$$ - Por lo tanto, $B^2 = I$ (matriz identidad). - Entonces, $B^2 A = I \times A = A$. - Por lo tanto, $$X = A (B^2 A) A^{-1} = A A A^{-1} = A I = A$$ **Respuesta 2.1.1:** $$\boxed{X = A = \begin{pmatrix}-2 & 1 \\ 3 & -2\end{pmatrix}}$$ --- 3. **Resolución 2.1.2:** Calcular el determinante de $$(3 A^5 B)^2$$ Recordemos que para matrices cuadradas: - $\det(kM) = k^n \det(M)$ donde $n$ es el tamaño de la matriz (aquí $n=2$). - $\det(MN) = \det(M) \det(N)$. - $\det(M^k) = (\det(M))^k$. Entonces: $$\det((3 A^5 B)^2) = \det(3 A^5 B)^2 = \left(\det(3 A^5 B)\right)^2$$ Calculamos $\det(3 A^5 B)$: $$\det(3 A^5 B) = \det(3 I) \det(A^5) \det(B)$$ Pero $3 I$ es $3$ por la matriz identidad, entonces: $$\det(3 I) = 3^2 = 9$$ Por lo tanto: $$\det(3 A^5 B) = 9 \times (\det(A))^5 \times \det(B)$$ Calculamos $\det(A)$: $$\det(A) = (-2)(-2) - (1)(3) = 4 - 3 = 1$$ Calculamos $\det(B)$: $$\det(B) = (1)(-1) - (2)(0) = -1 - 0 = -1$$ Entonces: $$\det(3 A^5 B) = 9 \times 1^5 \times (-1) = -9$$ Finalmente: $$\det((3 A^5 B)^2) = (-9)^2 = 81$$ **Respuesta 2.1.2:** $$\boxed{81}$$ --- 4. **Resolución 2.1.3:** Encontrar $a,b$ tales que: $$a B^{100} + b B^{99} = A + C$$ Primero, observamos que $B$ es una matriz 2x2 y calculamos su forma para potencias altas. Recordemos que $B = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$. Calculamos $B^2$ ya antes: $$B^2 = I$$ Por lo tanto, $B^2 = I$ implica que $B$ es involutiva en el cuadrado, es decir, $B^2 = I$. Entonces: - Si $n$ es par, $B^n = I$. - Si $n$ es impar, $B^n = B$. Como $100$ es par, $B^{100} = I$. Como $99$ es impar, $B^{99} = B$. Entonces: $$a I + b B = A + C$$ Escribimos la ecuación en matrices: $$a \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + b \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 & 1 \\ 3 & -2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}3 & -1 \\ -3 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$$ Sumamos $A + C$: $$A + C = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = I$$ Entonces: $$a I + b B = I$$ Expresamos la suma: $$\begin{pmatrix}a & 0 \\ 0 & a\end{pmatrix} + b \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 0 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a + b & 2b \\ 0 & a - b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$$ Igualamos elemento a elemento: - $a + b = 1$ - $2b = 0 \implies b = 0$ - $0 = 0$ (siempre cierto) - $a - b = 1$ Con $b=0$, las dos ecuaciones para $a$ son: - $a + 0 = 1 \implies a=1$ - $a - 0 = 1 \implies a=1$ Consistente. **Respuesta 2.1.3:** $$\boxed{a=1, b=0}$$