1. **Énoncé du problème :** Montrer que les matrices $A$ et $B$ ne commutent pas pour la multiplication matricielle, c'est-à-dire vérifier si $AB = BA$. 2. **Données :** $$A = \begin{pmatrix}5 & 1 \\ 3 & -2\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}2 & 0 \\ 4 & 3\end{pmatrix}$$ 3. **Calcul de $AB$ :** $$AB = \begin{pmatrix}5 & 1 \\ 3 & -2\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}2 & 0 \\ 4 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \times 2 + 1 \times 4 & 5 \times 0 + 1 \times 3 \\ 3 \times 2 + (-2) \times 4 & 3 \times 0 + (-2) \times 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}10 + 4 & 0 + 3 \\ 6 - 8 & 0 - 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}14 & 3 \\ -2 & -6\end{pmatrix}$$ 4. **Calcul de $BA$ :** $$BA = \begin{pmatrix}2 & 0 \\ 4 & 3\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}5 & 1 \\ 3 & -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 \times 5 + 0 \times 3 & 2 \times 1 + 0 \times (-2) \\ 4 \times 5 + 3 \times 3 & 4 \times 1 + 3 \times (-2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}10 + 0 & 2 + 0 \\ 20 + 9 & 4 - 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}10 & 2 \\ 29 & -2\end{pmatrix}$$ 5. **Comparaison :** $$AB = \begin{pmatrix}14 & 3 \\ -2 & -6\end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix}10 & 2 \\ 29 & -2\end{pmatrix} = BA$$ 6. **Conclusion :** Les matrices $A$ et $B$ ne commutent pas car $AB \neq BA$.