1. Planteamos el problema: Resolver la ecuación $$\left| \begin{matrix} 5 & -1 \\ 2 & x \end{matrix} \right| + 3 \left| \begin{matrix} 8 & 1 \\ 1 & x \end{matrix} \right| = 28$$ 2. Calculamos los determinantes: $$\left| \begin{matrix} 5 & -1 \\ 2 & x \end{matrix} \right| = 5x - (-1)(2) = 5x + 2$$ $$\left| \begin{matrix} 8 & 1 \\ 1 & x \end{matrix} \right| = 8x - 1 \cdot 1 = 8x - 1$$ 3. Sustituimos en la ecuación: $$5x + 2 + 3(8x - 1) = 28$$ 4. Simplificamos: $$5x + 2 + 24x - 3 = 28$$ $$29x - 1 = 28$$ 5. Despejamos $x$: $$29x = 29$$ $$x = 1$$ --- 1. Planteamos el problema: Resolver el determinante $$\left| \begin{matrix} x & -1 & x \\ 2 & x & 0 \\ 3 & 1 & 0 \end{matrix} \right| = 0$$ 2. Calculamos el determinante usando cofactores por la tercera columna: $$= x \cdot \left| \begin{matrix} x & -1 \\ 2 & x \end{matrix} \right| - 0 + 0 = x(x \cdot x - (-1) \cdot 2) = x(x^2 + 2)$$ 3. Igualamos a cero: $$x(x^2 + 2) = 0$$ 4. Soluciones: $$x = 0 \quad \text{o} \quad x^2 + 2 = 0$$ 5. Como $x^2 + 2 = 0$ no tiene soluciones reales, la única solución real es: $$x = 0$$ --- 1. Planteamos el problema: Dado $$\left| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} \right| = 2$$ Calcular $$M = \left| \begin{matrix} 2+a & b \\ 2+c & d \end{matrix} \right| + 2 \left| \begin{matrix} 1 & d \\ 1 & b \end{matrix} \right|$$ 2. Calculamos cada determinante: $$\left| \begin{matrix} 2+a & b \\ 2+c & d \end{matrix} \right| = (2+a)d - b(2+c) = 2d + ad - 2b - bc$$ $$\left| \begin{matrix} 1 & d \\ 1 & b \end{matrix} \right| = 1 \cdot b - d \cdot 1 = b - d$$ 3. Sumamos: $$M = (2d + ad - 2b - bc) + 2(b - d) = 2d + ad - 2b - bc + 2b - 2d = ad - bc$$ 4. Recordando que $$ad - bc = 2$$ 5. Por lo tanto: $$M = 2$$ --- 1. Planteamos el problema: Calcular $$E = \sqrt{\left| \begin{matrix} a & b & a \\ 1 & 1 & 1 \\ b & 0 & a \end{matrix} \right|}$$ 2. Calculamos el determinante de la matriz 3x3: Usamos la regla de Sarrus o cofactores: $$= a \cdot \left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & a \end{matrix} \right| - b \cdot \left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ b & a \end{matrix} \right| + a \cdot \left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ b & 0 \end{matrix} \right|$$ 3. Calculamos cada menor: $$\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & a \end{matrix} \right| = 1 \cdot a - 1 \cdot 0 = a$$ $$\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ b & a \end{matrix} \right| = 1 \cdot a - 1 \cdot b = a - b$$ $$\left| \begin{matrix} 1 & 1 \\ b & 0 \end{matrix} \right| = 1 \cdot 0 - 1 \cdot b = -b$$ 4. Sustituimos: $$= a \cdot a - b (a - b) + a (-b) = a^2 - b a + b^2 - a b = a^2 + b^2 - 2 a b$$ 5. Simplificamos: $$a^2 + b^2 - 2 a b = (a - b)^2$$ 6. Por lo tanto: $$E = \sqrt{(a - b)^2} = |a - b|$$ --- 1. Planteamos el problema: Dadas las matrices $$A = \begin{bmatrix} 2x - 1 & 3 \\ 4 & -1 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 3y & 6y \\ -2z & -1 \end{bmatrix}$$ Y la igualdad $$A = B$$ 2. Igualamos elemento a elemento: $$2x - 1 = 3y$$ $$3 = 6y$$ $$4 = -2z$$ $$-1 = -1$$ 3. De la segunda ecuación: $$3 = 6y \Rightarrow y = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$ 4. De la primera ecuación: $$2x - 1 = 3y = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$ $$2x = \frac{3}{2} + 1 = \frac{3}{2} + \frac{2}{2} = \frac{5}{2}$$ $$x = \frac{5}{4}$$ 5. De la tercera ecuación: $$4 = -2z \Rightarrow z = -2$$ 6. La cuarta ecuación es una igualdad verdadera y no aporta información. --- **Respuestas finales:** 1. $x = 1$ 2. $x = 0$ 3. $M = 2$ 4. $E = |a - b|$ 5. $x = \frac{5}{4}, y = \frac{1}{2}, z = -2$