1. **Calculer $I_2 + C$, $AB$ et $ABC$.** - Matrices données : $$A=\begin{pmatrix}2 & -2 & 0 \\ 4 & 2 & -2\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & -3\end{pmatrix}, C=\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}$$ - $I_2$ est la matrice identité $2\times 2$ : $$I_2=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$$ - Calcul de $I_2 + C$ : $$I_2 + C = \begin{pmatrix}1+1 & 0-1 \\ 0+1 & 1+2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & -1 \\ 1 & 3\end{pmatrix}$$ - Calcul de $AB$ : $$AB = \begin{pmatrix}2 & -2 & 0 \\ 4 & 2 & -2\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & -3\end{pmatrix}$$ Calcul des éléments : - Première ligne, première colonne : $2\times1 + (-2)\times1 + 0\times1 = 2 - 2 + 0 = 0$ - Première ligne, deuxième colonne : $2\times1 + (-2)\times2 + 0\times(-3) = 2 - 4 + 0 = -2$ - Deuxième ligne, première colonne : $4\times1 + 2\times1 + (-2)\times1 = 4 + 2 - 2 = 4$ - Deuxième ligne, deuxième colonne : $4\times1 + 2\times2 + (-2)\times(-3) = 4 + 4 + 6 = 14$ Donc : $$AB = \begin{pmatrix}0 & -2 \\ 4 & 14\end{pmatrix}$$ - Calcul de $ABC$ : $$ABC = (AB) \times C = \begin{pmatrix}0 & -2 \\ 4 & 14\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1 & -1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}$$ Calcul des éléments : - Première ligne, première colonne : $0\times1 + (-2)\times1 = 0 - 2 = -2$ - Première ligne, deuxième colonne : $0\times(-1) + (-2)\times2 = 0 - 4 = -4$ - Deuxième ligne, première colonne : $4\times1 + 14\times1 = 4 + 14 = 18$ - Deuxième ligne, deuxième colonne : $4\times(-1) + 14\times2 = -4 + 28 = 24$ Donc : $$ABC = \begin{pmatrix}-2 & -4 \\ 18 & 24\end{pmatrix}$$ 2. **Calculer $tAC$ (transposée de $A$ multipliée par $C$).** - Transposée de $A$ : $$tA = A^T = \begin{pmatrix}2 & 4 \\ -2 & 2 \\ 0 & -2\end{pmatrix}$$ - Multiplication $tAC$ : $$tAC = tA \times C = \begin{pmatrix}2 & 4 \\ -2 & 2 \\ 0 & -2\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1 & -1 \\ 1 & 2\end{pmatrix}$$ Calcul des éléments : - Première ligne, première colonne : $2\times1 + 4\times1 = 2 + 4 = 6$ - Première ligne, deuxième colonne : $2\times(-1) + 4\times2 = -2 + 8 = 6$ - Deuxième ligne, première colonne : $-2\times1 + 2\times1 = -2 + 2 = 0$ - Deuxième ligne, deuxième colonne : $-2\times(-1) + 2\times2 = 2 + 4 = 6$ - Troisième ligne, première colonne : $0\times1 + (-2)\times1 = 0 - 2 = -2$ - Troisième ligne, deuxième colonne : $0\times(-1) + (-2)\times2 = 0 - 4 = -4$ Donc : $$tAC = \begin{pmatrix}6 & 6 \\ 0 & 6 \\ -2 & -4\end{pmatrix}$$ --- **EXERCICE 2 : Inverse d'une matrice** Soit $$A = \begin{pmatrix}3 & 2 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$$ 1. Calcul du déterminant : $$\det(A) = 3\times1 - 2\times1 = 3 - 2 = 1$$ 2. Comme $\det(A) \neq 0$, $A$ est inversible. 3. Montrer que $A^2 - 4A = -I_2$ : - Calcul de $A^2 = A \times A$ : $$A^2 = \begin{pmatrix}3 & 2 \\ 1 & 1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}3 & 2 \\ 1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\times3 + 2\times1 & 3\times2 + 2\times1 \\ 1\times3 + 1\times1 & 1\times2 + 1\times1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}11 & 8 \\ 4 & 3\end{pmatrix}$$ - Calcul de $4A$ : $$4A = 4 \times \begin{pmatrix}3 & 2 \\ 1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}12 & 8 \\ 4 & 4\end{pmatrix}$$ - Calcul de $A^2 - 4A$ : $$\begin{pmatrix}11 & 8 \\ 4 & 3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}12 & 8 \\ 4 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix} = -I_2$$ 4. En déduire $A^{-1}$ : - De $A^2 - 4A = -I_2$, on a $$A^2 - 4A + I_2 = 0 \Rightarrow A^2 - 4A = -I_2$$ - Multiplier par $A^{-1}$ à droite (car $A$ inversible) : $$A - 4I_2 = -A^{-1} \Rightarrow A^{-1} = 4I_2 - A = \begin{pmatrix}4 & 0 \\ 0 & 4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3 & 2 \\ 1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -2 \\ -1 & 3\end{pmatrix}$$ --- **EXERCICE 3 : Matrice et résolution de système linéaire** Soit $$A_m = \begin{pmatrix}m & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & m\end{pmatrix}, m \in \mathbb{R}$$ 1. Pour quelles valeurs de $m$ la matrice $A_m$ n'est pas inversible ? - Calcul du déterminant : $$\det(A_m) = m \times \begin{vmatrix}0 & 1 \\ 1 & m\end{vmatrix} - 2 \times \begin{vmatrix}1 & 1 \\ 1 & m\end{vmatrix} + 0 \times \dots = m(0\times m - 1\times1) - 2(1\times m - 1\times1) = m(0 - 1) - 2(m - 1) = -m - 2m + 2 = 2 - 3m$$ - $A_m$ n'est pas inversible si $\det(A_m) = 0$ donc $$2 - 3m = 0 \Rightarrow m = \frac{2}{3}$$ 2. Pour $m=1$ : (a) Calcul du déterminant : $$\det(A_1) = 2 - 3\times1 = 2 - 3 = -1 \neq 0$$ (b) $A_1$ est inversible. - Calcul de l'inverse $B$ par la méthode de la comatrice : Calcul des cofacteurs : $$C_{11} = \begin{vmatrix}0 & 1 \\ 1 & 1\end{vmatrix} = 0\times1 - 1\times1 = -1$$ $$C_{12} = - \begin{vmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1\end{vmatrix} = - (1\times1 - 1\times1) = 0$$ $$C_{13} = \begin{vmatrix}1 & 0 \\ 1 & 1\end{vmatrix} = 1\times1 - 0\times1 = 1$$ $$C_{21} = - \begin{vmatrix}2 & 0 \\ 1 & 1\end{vmatrix} = - (2\times1 - 0\times1) = -2$$ $$C_{22} = \begin{vmatrix}1 & 0 \\ 1 & 1\end{vmatrix} = 1\times1 - 0\times1 = 1$$ $$C_{23} = - \begin{vmatrix}1 & 2 \\ 1 & 1\end{vmatrix} = - (1\times1 - 2\times1) = - (1 - 2) = 1$$ $$C_{31} = \begin{vmatrix}2 & 0 \\ 0 & 1\end{vmatrix} = 2\times1 - 0\times0 = 2$$ $$C_{32} = - \begin{vmatrix}1 & 0 \\ 1 & 1\end{vmatrix} = - (1\times1 - 0\times1) = -1$$ $$C_{33} = \begin{vmatrix}1 & 2 \\ 0 & 0\end{vmatrix} = 1\times0 - 2\times0 = 0$$ - Matrice des cofacteurs : $$\text{Cof}(A_1) = \begin{pmatrix}-1 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 0\end{pmatrix}$$ - Transposée (adjointe) : $$\text{adj}(A_1) = \begin{pmatrix}-1 & -2 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}$$ - Inverse : $$B = A_1^{-1} = \frac{1}{\det(A_1)} \text{adj}(A_1) = -1 \times \begin{pmatrix}-1 & -2 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & 0\end{pmatrix}$$ - Par la méthode du pivot de Gauss, on obtiendrait la même matrice inverse. (c) Le rang de $B$ est 3 car $B$ est inversible. 3. Système $(S)$ : $$\begin{cases} x + 2y = 1 \\ x + z = 1 \\ x + y + z = 0 \end{cases}$$ (a) Forme matricielle : $$\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}$$ (b) Déterminant de la matrice des coefficients : $$\det = 1 \times \begin{vmatrix}0 & 1 \\ 1 & 1\end{vmatrix} - 2 \times \begin{vmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1\end{vmatrix} + 0 = 1(0\times1 - 1\times1) - 2(1\times1 - 1\times1) = -1 - 0 = -1 \neq 0$$ Donc, solution unique. (c) Résolution : - De la deuxième équation : $x + z = 1 \Rightarrow z = 1 - x$ - De la première : $x + 2y = 1 \Rightarrow 2y = 1 - x \Rightarrow y = \frac{1 - x}{2}$ - De la troisième : $x + y + z = 0$ Substituer $y$ et $z$ : $$x + \frac{1 - x}{2} + (1 - x) = 0$$ $$x + \frac{1 - x}{2} + 1 - x = 0$$ Simplifier : $$x - x + \frac{1 - x}{2} + 1 = 0 \Rightarrow \frac{1 - x}{2} + 1 = 0$$ $$\frac{1 - x}{2} = -1 \Rightarrow 1 - x = -2 \Rightarrow x = 3$$ - Calculer $y$ : $$y = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ - Calculer $z$ : $$z = 1 - 3 = -2$$ **Solution unique :** $$\boxed{(x,y,z) = (3, -1, -2)}$$