1. **Planteamiento del problema:** Se nos dan las matrices $$A=\begin{pmatrix}-2 & 0 & 4 \\ 3 & 1 & 3 \\ -4 & 3 & 5\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}2 & -6 & 0 \\ -3 & -5 & 0 \\ 4 & 2 & -1\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}-3 & -2 & 4 \\ 4 & -1 & 2\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}-1 & 3 & -2 \\ 0 & -4 & 5\end{pmatrix}$$ Y se nos pide hallar: 1) $D \cdot B$ 2) $C \cdot A$ 3) $D - C$ 2. **Reglas y fórmulas:** - La multiplicación de matrices $M_{m\times n}$ y $N_{n\times p}$ es posible si el número de columnas de $M$ es igual al número de filas de $N$. - La resta de matrices es posible solo si ambas matrices tienen la misma dimensión. 3. **Verificación de dimensiones:** - $D$ es $2 \times 3$, $B$ es $3 \times 3$, por lo que $D \cdot B$ es posible y el resultado será $2 \times 3$. - $C$ es $2 \times 3$, $A$ es $3 \times 3$, por lo que $C \cdot A$ es posible y el resultado será $2 \times 3$. - $D$ y $C$ son ambas $2 \times 3$, por lo que $D - C$ es posible y el resultado será $2 \times 3$. --- ### 1) Calcular $D \cdot B$ $$D=\begin{pmatrix}-1 & 3 & -2 \\ 0 & -4 & 5\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}2 & -6 & 0 \\ -3 & -5 & 0 \\ 4 & 2 & -1\end{pmatrix}$$ Multiplicamos fila por columna: - Elemento (1,1): $(-1)(2) + (3)(-3) + (-2)(4) = -2 -9 -8 = -19$ - Elemento (1,2): $(-1)(-6) + (3)(-5) + (-2)(2) = 6 -15 -4 = -13$ - Elemento (1,3): $(-1)(0) + (3)(0) + (-2)(-1) = 0 + 0 + 2 = 2$ - Elemento (2,1): $(0)(2) + (-4)(-3) + (5)(4) = 0 + 12 + 20 = 32$ - Elemento (2,2): $(0)(-6) + (-4)(-5) + (5)(2) = 0 + 20 + 10 = 30$ - Elemento (2,3): $(0)(0) + (-4)(0) + (5)(-1) = 0 + 0 - 5 = -5$ Resultado: $$D \cdot B = \begin{pmatrix}-19 & -13 & 2 \\ 32 & 30 & -5\end{pmatrix}$$ --- ### 2) Calcular $C \cdot A$ $$C=\begin{pmatrix}-3 & -2 & 4 \\ 4 & -1 & 2\end{pmatrix},\quad A=\begin{pmatrix}-2 & 0 & 4 \\ 3 & 1 & 3 \\ -4 & 3 & 5\end{pmatrix}$$ Multiplicamos fila por columna: - Elemento (1,1): $(-3)(-2) + (-2)(3) + (4)(-4) = 6 -6 -16 = -16$ - Elemento (1,2): $(-3)(0) + (-2)(1) + (4)(3) = 0 -2 + 12 = 10$ - Elemento (1,3): $(-3)(4) + (-2)(3) + (4)(5) = -12 -6 + 20 = 2$ - Elemento (2,1): $(4)(-2) + (-1)(3) + (2)(-4) = -8 -3 -8 = -19$ - Elemento (2,2): $(4)(0) + (-1)(1) + (2)(3) = 0 -1 + 6 = 5$ - Elemento (2,3): $(4)(4) + (-1)(3) + (2)(5) = 16 -3 + 10 = 23$ Resultado: $$C \cdot A = \begin{pmatrix}-16 & 10 & 2 \\ -19 & 5 & 23\end{pmatrix}$$ --- ### 3) Calcular $D - C$ $$D=\begin{pmatrix}-1 & 3 & -2 \\ 0 & -4 & 5\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}-3 & -2 & 4 \\ 4 & -1 & 2\end{pmatrix}$$ Restamos elemento a elemento: - Elemento (1,1): $-1 - (-3) = -1 + 3 = 2$ - Elemento (1,2): $3 - (-2) = 3 + 2 = 5$ - Elemento (1,3): $-2 - 4 = -6$ - Elemento (2,1): $0 - 4 = -4$ - Elemento (2,2): $-4 - (-1) = -4 + 1 = -3$ - Elemento (2,3): $5 - 2 = 3$ Resultado: $$D - C = \begin{pmatrix}2 & 5 & -6 \\ -4 & -3 & 3\end{pmatrix}$$