1. Planteamos el problema: Tenemos las matrices $$ A = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -3 & 5 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -9 & 5 \end{pmatrix} $$ Queremos encontrar matrices $X$ y $Y$ que satisfagan: $$ 2X - Y = A \quad \text{y} \quad X - 3Y = B $$ 2. Para resolver el sistema de matrices, usamos álgebra matricial. Multiplicamos la segunda ecuación por 2: $$ 2X - 6Y = 2B $$ 3. Restamos la primera ecuación de esta nueva ecuación: $$ (2X - 6Y) - (2X - Y) = 2B - A $$ $$ 2X - 6Y - 2X + Y = 2B - A $$ $$ -5Y = 2B - A $$ 4. Despejamos $Y$: $$ Y = -\frac{1}{5}(2B - A) $$ 5. Calculamos $2B - A$: $$ 2B = \begin{pmatrix} 2 & -8 \\ -18 & 10 \end{pmatrix}, \quad 2B - A = \begin{pmatrix} 2-2 & -8+3 \\ -18+3 & 10-5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -5 \\ -15 & 5 \end{pmatrix} $$ 6. Entonces: $$ Y = -\frac{1}{5} \begin{pmatrix} 0 & -5 \\ -15 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} $$ 7. Usamos la primera ecuación para hallar $X$: $$ 2X - Y = A \implies 2X = A + Y $$ $$ 2X = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -3 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} $$ 8. Dividimos por 2: $$ X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} $$ --- 9. Para la parte b), queremos hallar $Z$ tal que: $$ B + ZA - B^t = 3I $$ 10. Despejamos $ZA$: $$ ZA = 3I - B + B^t $$ 11. Calculamos $B^t$ (transpuesta de $B$): $$ B^t = \begin{pmatrix} 1 & -9 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} $$ 12. Calculamos $3I$ con $I$ la matriz identidad 2x2: $$ 3I = 3 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} $$ 13. Sumamos y restamos: $$ 3I - B + B^t = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ -9 & 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & -9 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-1+1 & 0+4-9 \\ 0+9-4 & 3-5+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} $$ 14. Entonces: $$ ZA = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} $$ 15. Para hallar $Z$, multiplicamos por la inversa de $A$: $$ Z = \left( \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \right) A^{-1} $$ 16. Calculamos $A^{-1}$. Primero el determinante: $$ \det(A) = 2 \times 5 - (-3) \times (-3) = 10 - 9 = 1 $$ 17. La inversa de $A$ es: $$ A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} $$ 18. Multiplicamos: $$ Z = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \times 5 + (-5) \times 3 & 3 \times 3 + (-5) \times 2 \\ 5 \times 5 + 3 \times 3 & 5 \times 3 + 3 \times 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15 - 15 & 9 - 10 \\ 25 + 9 & 15 + 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 34 & 21 \end{pmatrix} $$ Respuesta final: $$ X = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}, \quad Z = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 34 & 21 \end{pmatrix} $$