1. Diketahui matriks $$M=\begin{pmatrix} x+5 & 4 & 1 \\ x+3 & x-4 & 1 \\ -2 & -4 & -1 \end{pmatrix}$$ dan kita ingin mencari nilai-nilai $$x$$ sehingga matriks $$M$$ bersifat singular. 2. Matriks singular berarti determinan matriks tersebut adalah nol. Jadi, kita harus menghitung determinan matriks $$M$$ dan menyamakannya dengan nol: $$\det(M) = 0$$ 3. Hitung determinan matriks $$M$$: $$\det(M) = (x+5) \cdot \begin{vmatrix} x-4 & 1 \\ -4 & -1 \end{vmatrix} - 4 \cdot \begin{vmatrix} x+3 & 1 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} x+3 & x-4 \\ -2 & -4 \end{vmatrix}$$ 4. Hitung masing-masing minor: $$\begin{vmatrix} x-4 & 1 \\ -4 & -1 \end{vmatrix} = (x-4)(-1) - 1(-4) = -x + 4 + 4 = -x + 8$$ $$\begin{vmatrix} x+3 & 1 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} = (x+3)(-1) - 1(-2) = -x - 3 + 2 = -x - 1$$ $$\begin{vmatrix} x+3 & x-4 \\ -2 & -4 \end{vmatrix} = (x+3)(-4) - (x-4)(-2) = -4x - 12 + 2x - 8 = -2x - 20$$ 5. Substitusikan hasil minor ke dalam determinan: $$\det(M) = (x+5)(-x+8) - 4(-x -1) + 1(-2x - 20)$$ 6. Kembangkan dan sederhanakan: $$(x+5)(-x+8) = -x^2 + 8x - 5x + 40 = -x^2 + 3x + 40$$ Jadi: $$\det(M) = (-x^2 + 3x + 40) + 4x + 4 - 2x - 20 = -x^2 + 3x + 40 + 4x + 4 - 2x - 20$$ Gabungkan suku sejenis: $$-x^2 + (3x + 4x - 2x) + (40 + 4 - 20) = -x^2 + 5x + 24$$ 7. Set determinan sama dengan nol: $$-x^2 + 5x + 24 = 0$$ Kalikan kedua sisi dengan -1 agar koefisien $$x^2$$ positif: $$x^2 - 5x - 24 = 0$$ 8. Gunakan rumus kuadrat untuk mencari nilai $$x_1$$ dan $$x_2$$: $$x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24)}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 96}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{5 \pm 11}{2}$$ 9. Hitung kedua solusi: $$x_1 = \frac{5 + 11}{2} = \frac{16}{2} = 8$$ $$x_2 = \frac{5 - 11}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$ 10. Jumlah kedua solusi adalah: $$x_1 + x_2 = 8 + (-3) = 5$$