1. Задача: Обчислити визначник матриці $$\begin{pmatrix}0 & -2 & 3 & 7 \\ 4 & 3 & 1 & 1 \\ 5 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 & 3 \end{pmatrix}$$ 2. Формула: Визначник 4x4 матриці можна обчислити за допомогою розкладу за рядком або стовпцем, наприклад, за першим рядком: $$\det(A) = \sum_{j=1}^4 (-1)^{1+j} a_{1j} M_{1j}$$ де $M_{1j}$ — мінор елемента $a_{1j}$ (визначник матриці 3x3, що утворюється вилученням першого рядка і $j$-го стовпця). 3. Обчислимо мінори: - Для $a_{11} = 0$ мінор не рахуємо, бо множиться на 0. - Для $a_{12} = -2$ мінор: $$M_{12} = \begin{vmatrix}4 & 1 & 1 \\ 5 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix}$$ Обчислимо: $$=4 \cdot \begin{vmatrix}1 & 1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix}5 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix}5 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}$$ $$=4(1 \cdot 3 - (-1) \cdot 1) - 1(5 \cdot 3 - 1 \cdot 1) + 1(5 \cdot (-1) - 1 \cdot 1)$$ $$=4(3 + 1) - 1(15 - 1) + 1(-5 - 1) = 4 \cdot 4 - 14 - 6 = 16 - 14 - 6 = -4$$ - Для $a_{13} = 3$ мінор: $$M_{13} = \begin{vmatrix}4 & 3 & 1 \\ 5 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}$$ Обчислимо: $$=4 \cdot \begin{vmatrix}0 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix}5 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix}5 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}$$ $$=4(0 \cdot 3 - 2 \cdot 1) - 3(5 \cdot 3 - 1 \cdot 1) + 1(5 \cdot 2 - 0 \cdot 1)$$ $$=4(0 - 2) - 3(15 - 1) + 1(10 - 0) = 4(-2) - 3(14) + 10 = -8 - 42 + 10 = -40$$ - Для $a_{14} = 7$ мінор: $$M_{14} = \begin{vmatrix}4 & 3 & 1 \\ 5 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix}$$ Обчислимо: $$=4 \cdot \begin{vmatrix}0 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix}5 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix}5 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}$$ $$=4(0 \cdot (-1) - 2 \cdot 1) - 3(5 \cdot (-1) - 1 \cdot 1) + 1(5 \cdot 2 - 0 \cdot 1)$$ $$=4(0 - 2) - 3(-5 - 1) + 1(10 - 0) = 4(-2) - 3(-6) + 10 = -8 + 18 + 10 = 20$$ 4. Підставляємо у формулу визначника: $$\det(A) = (-1)^{1+1} \cdot 0 \cdot M_{11} + (-1)^{1+2} \cdot (-2) \cdot (-4) + (-1)^{1+3} \cdot 3 \cdot (-40) + (-1)^{1+4} \cdot 7 \cdot 20$$ $$= 0 - 2 \cdot (-4) - 3 \cdot (-40) + 7 \cdot 20 = 0 + 8 + 120 + 140 = 268$$ 5. Відповідь: Визначник матриці дорівнює $\boxed{268}$.