1. Найдите произведение матриц $AB$. Дано: $$A=\begin{pmatrix}2 & N & 1 \\ -1 & 3 & N \\ 4 & 0 & 2\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}N & 1 & 2 \\ 3 & 2 & -1 \\ 0 & N & 4\end{pmatrix}$$ Формула умножения матриц: элемент $(i,j)$ матрицы $AB$ равен сумме произведений элементов $i$-й строки матрицы $A$ на элементы $j$-го столбца матрицы $B$: $$ (AB)_{ij} = \sum_{k=1}^3 A_{ik} B_{kj} $$ Вычислим каждый элемент матрицы $AB$: - $(AB)_{11} = 2\cdot N + N \cdot 3 + 1 \cdot 0 = 2N + 3N + 0 = 5N$ - $(AB)_{12} = 2\cdot 1 + N \cdot 2 + 1 \cdot N = 2 + 2N + N = 2 + 3N$ - $(AB)_{13} = 2\cdot 2 + N \cdot (-1) + 1 \cdot 4 = 4 - N + 4 = 8 - N$ - $(AB)_{21} = (-1)\cdot N + 3 \cdot 3 + N \cdot 0 = -N + 9 + 0 = 9 - N$ - $(AB)_{22} = (-1)\cdot 1 + 3 \cdot 2 + N \cdot N = -1 + 6 + N^2 = 5 + N^2$ - $(AB)_{23} = (-1)\cdot 2 + 3 \cdot (-1) + N \cdot 4 = -2 - 3 + 4N = -5 + 4N$ - $(AB)_{31} = 4 \cdot N + 0 \cdot 3 + 2 \cdot 0 = 4N + 0 + 0 = 4N$ - $(AB)_{32} = 4 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 2 \cdot N = 4 + 0 + 2N = 4 + 2N$ - $(AB)_{33} = 4 \cdot 2 + 0 \cdot (-1) + 2 \cdot 4 = 8 + 0 + 8 = 16$ Итог: $$AB = \begin{pmatrix}5N & 2 + 3N & 8 - N \\ 9 - N & 5 + N^2 & -5 + 4N \\ 4N & 4 + 2N & 16\end{pmatrix}$$ 2. Найдите детерминант матрицы $C$. Дана матрица: $$C=\begin{pmatrix}1 & 2 & N & 4 \\ 0 & 3 & 1 & N \\ 2 & N & 5 & 1 \\ N & 4 & 0 & 3\end{pmatrix}$$ Детерминант 4x4 можно найти разложением по первой строке: $$\det(C) = 1 \cdot M_{11} - 2 \cdot M_{12} + N \cdot M_{13} - 4 \cdot M_{14}$$ где $M_{ij}$ — минор элемента $C_{ij}$ (детерминант матрицы, полученной удалением $i$-й строки и $j$-го столбца). Вычислим миноры: - $M_{11} = \det \begin{pmatrix}3 & 1 & N \\ N & 5 & 1 \\ 4 & 0 & 3\end{pmatrix}$ Вычислим детерминант 3x3: $$=3 \cdot \det \begin{pmatrix}5 & 1 \\ 0 & 3\end{pmatrix} - 1 \cdot \det \begin{pmatrix}N & 1 \\ 4 & 3\end{pmatrix} + N \cdot \det \begin{pmatrix}N & 5 \\ 4 & 0\end{pmatrix}$$ $$=3(5 \cdot 3 - 0 \cdot 1) - 1 (N \cdot 3 - 4 \cdot 1) + N (N \cdot 0 - 4 \cdot 5)$$ $$=3(15) - (3N - 4) + N (0 - 20) = 45 - 3N + 4 - 20N = 49 - 23N$$ - $M_{12} = \det \begin{pmatrix}0 & 1 & N \\ 2 & 5 & 1 \\ N & 0 & 3\end{pmatrix}$ Вычислим: $$=0 \cdot \det \begin{pmatrix}5 & 1 \\ 0 & 3\end{pmatrix} - 1 \cdot \det \begin{pmatrix}2 & 1 \\ N & 3\end{pmatrix} + N \cdot \det \begin{pmatrix}2 & 5 \\ N & 0\end{pmatrix}$$ $$=0 - 1 (2 \cdot 3 - N \cdot 1) + N (2 \cdot 0 - N \cdot 5) = - (6 - N) + N (0 - 5N) = -6 + N - 5N^2 = N - 6 - 5N^2$$ - $M_{13} = \det \begin{pmatrix}0 & 3 & N \\ 2 & N & 1 \\ N & 4 & 3\end{pmatrix}$ Вычислим: $$=0 \cdot \det \begin{pmatrix}N & 1 \\ 4 & 3\end{pmatrix} - 3 \cdot \det \begin{pmatrix}2 & 1 \\ N & 3\end{pmatrix} + N \cdot \det \begin{pmatrix}2 & N \\ N & 4\end{pmatrix}$$ $$=0 - 3 (2 \cdot 3 - N \cdot 1) + N (2 \cdot 4 - N \cdot N) = -3 (6 - N) + N (8 - N^2) = -18 + 3N + 8N - N^3 = -18 + 11N - N^3$$ - $M_{14} = \det \begin{pmatrix}0 & 3 & 1 \\ 2 & N & 5 \\ N & 4 & 0\end{pmatrix}$ Вычислим: $$=0 \cdot \det \begin{pmatrix}N & 5 \\ 4 & 0\end{pmatrix} - 3 \cdot \det \begin{pmatrix}2 & 5 \\ N & 0\end{pmatrix} + 1 \cdot \det \begin{pmatrix}2 & N \\ N & 4\end{pmatrix}$$ $$=0 - 3 (2 \cdot 0 - N \cdot 5) + (2 \cdot 4 - N \cdot N) = -3 (0 - 5N) + (8 - N^2) = 15N + 8 - N^2$$ Подставим в формулу детерминанта: $$\det(C) = 1 \cdot (49 - 23N) - 2 \cdot (N - 6 - 5N^2) + N \cdot (-18 + 11N - N^3) - 4 \cdot (15N + 8 - N^2)$$ Раскроем скобки: $$= 49 - 23N - 2N + 12 + 10N^2 - 18N + 11N^2 - N^4 - 60N - 32 + 4N^2$$ Сгруппируем по степеням: - $N^4$: $-N^4$ - $N^2$: $10N^2 + 11N^2 + 4N^2 = 25N^2$ - $N$: $-23N - 2N - 18N - 60N = -103N$ - Константы: $49 + 12 - 32 = 29$ Итог: $$\det(C) = -N^4 + 25N^2 - 103N + 29$$