1. Planteamos el problema: Encontrar los enteros $m$ tales que $\ln(m+3)$ y $\ln(10-2m)$ estén definidos. 2. Recordemos que el logaritmo natural $\ln(x)$ está definido solo para $x>0$. 3. Por lo tanto, las condiciones son: $$m+3>0 \implies m>-3$$ $$10-2m>0 \implies 2m<10 \implies m<5$$ 4. Como $m$ es entero, $m \in \{-2,-1,0,1,2,3,4\}$. 5. Definimos la matriz $$K(m) = \begin{pmatrix}1 & m \\ m & 1\end{pmatrix}$$ 6. Calculamos el determinante de $K(m)$: $$\det(K(m)) = 1 \cdot 1 - m \cdot m = 1 - m^2$$ 7. Queremos maximizar el valor absoluto del determinante: $$|\det(K(m))| = |1 - m^2|$$ 8. Evaluamos para cada $m$: - $m=-2$: $|1 - (-2)^2| = |1 - 4| = 3$ - $m=-1$: $|1 - 1| = 0$ - $m=0$: $|1 - 0| = 1$ - $m=1$: $|1 - 1| = 0$ - $m=2$: $|1 - 4| = 3$ - $m=3$: $|1 - 9| = 8$ - $m=4$: $|1 - 16| = 15$ 9. El valor máximo es $15$ para $m=4$. Respuesta final: $m=4$