1. Planteamos el problema: Encontrar los números naturales $p$, $q$ y $n$ tales que $$\text{MCD}\left(\frac{p}{n}, \frac{q}{n}\right) = 4, \quad \text{MCD}(pn, qn) = 196, \quad p \cdot q = 11760, \quad p < q$$ 2. Recordemos que el máximo común divisor (MCD) de dos fracciones $\frac{a}{b}$ y $\frac{c}{d}$ es $\frac{\text{MCD}(a,c)}{\text{mcm}(b,d)}$. 3. Aplicando esto a $\text{MCD}\left(\frac{p}{n}, \frac{q}{n}\right)$, tenemos: $$\text{MCD}\left(\frac{p}{n}, \frac{q}{n}\right) = \frac{\text{MCD}(p,q)}{n} = 4$$ De aquí despejamos: $$\text{MCD}(p,q) = 4n$$ 4. Por otro lado, $\text{MCD}(pn, qn) = n \cdot \text{MCD}(p,q) = 196$. Sustituyendo $\text{MCD}(p,q) = 4n$: $$n \cdot 4n = 196 \implies 4n^2 = 196$$ Dividimos ambos lados por 4: $$\cancel{4}n^2 = \frac{196}{\cancel{4}} \implies n^2 = 49$$ 5. Por lo tanto: $$n = 7$$ 6. Ahora calculamos $\text{MCD}(p,q)$: $$\text{MCD}(p,q) = 4n = 4 \times 7 = 28$$ 7. Sabemos que $p \cdot q = 11760$ y $\text{MCD}(p,q) = 28$. Sea $p = 28a$ y $q = 28b$ con $\text{MCD}(a,b) = 1$ (porque 28 es el máximo común divisor). Entonces: $$p \cdot q = 28a \times 28b = 784 ab = 11760$$ Dividimos ambos lados por 784: $$\cancel{784} ab = \frac{11760}{\cancel{784}} \implies ab = 15$$ 8. Buscamos pares $(a,b)$ con $a < b$, $ab=15$ y $\text{MCD}(a,b) = 1$. Los factores de 15 son 1 y 15, 3 y 5. - Para $(1,15)$, $\text{MCD}(1,15) = 1$. - Para $(3,5)$, $\text{MCD}(3,5) = 1$. Ambos pares son válidos. 9. Calculamos $p$ y $q$ para cada par: - Si $(a,b) = (1,15)$, entonces $p=28 \times 1=28$, $q=28 \times 15=420$. - Si $(a,b) = (3,5)$, entonces $p=28 \times 3=84$, $q=28 \times 5=140$. 10. Verificamos que $p < q$ y que los valores cumplen las condiciones. Ambos pares cumplen, pero usualmente se elige el par con factores más cercanos para problemas de este tipo. Por lo tanto, la solución es: $$p=84, \quad q=140, \quad n=7$$