1. Planteamos el problema: Tenemos números naturales $p$, $q$ y $n$ tales que $$\text{MCD}(p^n, q^n) = 4 \quad \text{y} \quad \text{MCD}(p^n, q^n) = 196, \quad p \cdot q = 11760, \quad p < q.$$ 2. Observamos que hay una inconsistencia en el enunciado porque se repite \text{MCD}(p^n, q^n) con dos valores diferentes (4 y 196). Asumiremos que la primera es \text{MCD}(p, q) = 4 y la segunda \text{MCD}(p^n, q^n) = 196 para poder avanzar. 3. Sabemos que para números naturales y un exponente $n$: $$\text{MCD}(p^n, q^n) = \text{MCD}(p, q)^n.$$ 4. Por lo tanto: $$\text{MCD}(p^n, q^n) = 196 = \text{MCD}(p, q)^n = 4^n.$$ 5. Igualamos y resolvemos para $n$: $$4^n = 196.$$ 6. Factorizamos 196: $$196 = 14^2 = (2 \cdot 7)^2 = 2^2 \cdot 7^2.$$ 7. Como $4 = 2^2$, entonces: $$4^n = (2^2)^n = 2^{2n}.$$ 8. Para que $4^n = 2^2 \cdot 7^2$, $4^n$ debe contener factor 7, lo cual no es posible. Por lo tanto, la suposición inicial es incorrecta. 9. Alternativamente, si consideramos que: $$\text{MCD}(p, q) = 4,$$ $$\text{MCD}(p^n, q^n) = 196,$$ entonces: $$\text{MCD}(p^n, q^n) = (\text{MCD}(p, q))^n = 4^n = 196.$$ 10. Como antes, $4^n = 196$, y sabemos que $196 = 14^2$, no es potencia de 4, por lo que no hay $n$ entero que cumpla esto. 11. Por lo tanto, la única forma es que: $$\text{MCD}(p, q) = 14,$$ $$\text{MCD}(p^n, q^n) = 196,$$ y entonces: $$196 = 14^n,$$ 12. Como $196 = 14^2$, entonces: $$14^n = 14^2 \implies n = 2.$$ 13. Ahora sabemos que: $$\text{MCD}(p, q) = 14, \quad n = 2, \quad p \cdot q = 11760, \quad p < q.$$ 14. Descomponemos $p$ y $q$ en factores: $$p = 14a, \quad q = 14b,$$ con $\text{MCD}(a, b) = 1$ porque 14 es el máximo común divisor de $p$ y $q$. 15. Entonces: $$p \cdot q = 14a \cdot 14b = 196ab = 11760,$$ 16. Despejamos $ab$: $$ab = \frac{11760}{196} = 60.$$ 17. Buscamos pares $(a,b)$ con $a < b$, $ab=60$ y $\text{MCD}(a,b) = 1$. 18. Los pares de factores de 60 son: - (1, 60), (2, 30), (3, 20), (4, 15), (5, 12), (6, 10). 19. Calculamos $\text{MCD}$ para cada par: - $\text{MCD}(1,60) = 1$ - $\text{MCD}(2,30) = 2$ (descartado) - $\text{MCD}(3,20) = 1$ - $\text{MCD}(4,15) = 1$ - $\text{MCD}(5,12) = 1$ - $\text{MCD}(6,10) = 2$ (descartado) 20. Los pares válidos son (1,60), (3,20), (4,15), (5,12). 21. Calculamos $p$ y $q$ para cada par: - $p=14 \cdot 1=14$, $q=14 \cdot 60=840$ - $p=14 \cdot 3=42$, $q=14 \cdot 20=280$ - $p=14 \cdot 4=56$, $q=14 \cdot 15=210$ - $p=14 \cdot 5=70$, $q=14 \cdot 12=168$ 22. Verificamos que $p < q$ en todos los casos, lo cual es cierto. 23. Por lo tanto, las soluciones son: $$n=2,$$ $$p, q \in \{(14, 840), (42, 280), (56, 210), (70, 168)\}.$$