1. نبدأ بحل السؤال الأول: انشر $(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2$. نستخدم صيغة الفرق المربع: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. إذاً: $$ (\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = (\sqrt{x})^2 - 2\sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2 = x - 2\sqrt{xy} + y $$ 2. نثبت أن $G - H = \frac{\sqrt{xy}}{x + y} (\sqrt{x} - \sqrt{y})^2$ ثم نستنتج أن $G \geq H$. نعلم أن: $G = \sqrt{xy}$ $H = \frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} = \frac{2}{\frac{x + y}{xy}} = \frac{2xy}{x + y}$ نحسب $G - H$: $$ G - H = \sqrt{xy} - \frac{2xy}{x + y} = \frac{(x + y)\sqrt{xy} - 2xy}{x + y} $$ نكتب البسط: $$ (x + y)\sqrt{xy} - 2xy = \sqrt{xy}(x + y) - 2xy $$ نضيف ونطرح $2\sqrt{xy}\sqrt{xy} = 2xy$ داخل البسط: $$ = \frac{\sqrt{xy}(x + y) - 2\sqrt{xy}\sqrt{xy}}{x + y} = \frac{\sqrt{xy}[(x + y) - 2\sqrt{xy}]}{x + y} $$ نلاحظ أن $(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 = x - 2\sqrt{xy} + y = (x + y) - 2\sqrt{xy}$. إذاً: $$ G - H = \frac{\sqrt{xy}}{x + y} (\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 $$ بما أن $x, y > 0$ فإن $\sqrt{xy} > 0$ و $x + y > 0$ و $(\sqrt{x} - \sqrt{y})^2 \geq 0$، إذن $G - H \geq 0$ أي $G \geq H$. 3. نثبت أن $Q \geq A$. نعلم أن: $Q = \sqrt{\frac{x^2 + y^2}{2}}$ $A = \frac{x + y}{2}$ نريد إثبات: $$ Q \geq A $$ نربع الطرفين (لأنهما موجبان): $$ Q^2 = \frac{x^2 + y^2}{2} \quad \text{و} \quad A^2 = \left(\frac{x + y}{2}\right)^2 = \frac{(x + y)^2}{4} $$ نحسب الفرق: $$ Q^2 - A^2 = \frac{x^2 + y^2}{2} - \frac{(x + y)^2}{4} = \frac{2(x^2 + y^2) - (x + y)^2}{4} $$ نوسع $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$: $$ = \frac{2x^2 + 2y^2 - x^2 - 2xy - y^2}{4} = \frac{x^2 - 2xy + y^2}{4} = \frac{(x - y)^2}{4} \geq 0 $$ إذاً $Q^2 \geq A^2$ وبما أن $Q, A > 0$ نستنتج $Q \geq A$. 4. نستنتج مقارنة بين الأعداد $A, G, Q, H$. من الخطوة 2: $G \geq H$. من الخطوة 3: $Q \geq A$. نعلم من خواص المتوسطات أن: $H \leq G \leq A \leq Q$ حيث $H$ هو المتوسط التوافقي، $G$ المتوسط الهندسي، $A$ المتوسط الحسابي، و$Q$ المتوسط التربيعي. لذلك الترتيب هو: $$ H \leq G \leq A \leq Q $$