1. **Planteamiento del problema:** Se administra 50 mg de un medicamento y la cantidad restante disminuye a la tercera parte cada 5 horas. 2. **Función dada:** La función que representa la cantidad restante es $$f(x) = 50 \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{x}{5}}$$ donde $x$ es el tiempo en horas. 3. **Literal b) Calcular la cantidad después de 3 horas:** Sustituimos $x=3$ en la función: $$f(3) = 50 \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{3}{5}}$$ 4. Evaluamos la potencia: $$\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{3}{5}} = e^{\ln\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{3}{5}}\right)} = e^{\frac{3}{5} \ln\left(\frac{1}{3}\right)}$$ 5. Calculamos el valor numérico: $$\ln\left(\frac{1}{3}\right) = -\ln(3) \approx -1.0986$$ $$\frac{3}{5} \times (-1.0986) = -0.6592$$ $$e^{-0.6592} \approx 0.517$$ 6. Entonces: $$f(3) = 50 \times 0.517 = 25.85$$ 7. **Respuesta literal b):** Después de 3 horas quedan aproximadamente **25.85 miligramos** del medicamento. 8. **Literal c) Encontrar el tiempo cuando queda 1 mg:** Planteamos la ecuación: $$1 = 50 \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{x}{5}}$$ 9. Dividimos ambos lados entre 50: $$\frac{1}{50} = \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{x}{5}}$$ 10. Aplicamos logaritmo natural a ambos lados: $$\ln\left(\frac{1}{50}\right) = \ln\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{x}{5}}\right) = \frac{x}{5} \ln\left(\frac{1}{3}\right)$$ 11. Despejamos $x$: $$x = 5 \times \frac{\ln\left(\frac{1}{50}\right)}{\ln\left(\frac{1}{3}\right)}$$ 12. Calculamos los logaritmos: $$\ln\left(\frac{1}{50}\right) = -\ln(50) \approx -3.9120$$ $$\ln\left(\frac{1}{3}\right) = -1.0986$$ 13. Sustituimos: $$x = 5 \times \frac{-3.9120}{-1.0986} = 5 \times 3.56 = 17.8$$ 14. **Respuesta literal c):** Quedará 1 mg del medicamento después de aproximadamente **17.8 horas**.