1. Planteamos el problema: utilizar el método de Ruffini para dividir el polinomio $$f(x)=x^4-8x^2+16$$ por un binomio de la forma $$x-r$$, donde $$r$$ es una raíz del polinomio que necesitamos encontrar. 2. Buscamos las raíces posibles. Probamos con raíces racionales como divisores del término independiente 16: $$\pm1, \pm2, \pm4, \pm8, \pm16$$. 3. Evaluamos $$f(2)$$: $$2^4 - 8 \cdot 2^2 + 16 = 16 - 32 + 16 = 0$$, por lo que $$x=2$$ es una raíz. 4. Aplicamos el método de Ruffini para dividir $$f(x)$$ entre $$x-2$$. Coeficientes de $$f(x)$$ son: [1, 0, -8, 0, 16] para $$x^4, x^3, x^2, x, x^0$$ respectivamente. 5. Realizamos la división: - Bajamos el 1. - Multiplicamos 1 por 2 y sumamos a 0: 2. - Multiplicamos 2 por 2 y sumamos a -8: -4. - Multiplicamos -4 por 2 y sumamos a 0: -8. - Multiplicamos -8 por 2 y sumamos a 16: 0. 6. El cociente es $$x^3 + 2x^2 -4x -8$$ y el residuo es 0, confirmando que $$x-2$$ es un factor. 7. Repetimos el proceso con el cociente para factorizar más: Probamos $$x-2$$ de nuevo con el cociente: - Coeficientes: [1,2,-4,-8]. Bajamos 1. - Multiplicamos 1 por 2 y sumamos a 2 = 4. - Multiplicamos 4 por 2 y sumamos a -4 = 4. - Multiplicamos 4 por 2 y sumamos a -8 = 0. El cociente es $$x^2 + 4x + 4$$. 8. Observamos que $$x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$$. 9. Así, la factorización completa es: $$f(x) = (x-2)^2 (x+2)^2$$. Respuesta final: $$f(x)=(x-2)^2(x+2)^2$$.