1. **Nêu bài toán:** Cho parabol $y = -\frac{x^2}{4}$ và đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(0, -2)$ với hệ số góc $m$. Tìm $m$ sao cho đường thẳng $d$ cắt parabol tại hai điểm $A, B$ và đoạn thẳng $AB$ có độ dài nhỏ nhất. 2. **Phương trình đường thẳng:** Vì $d$ đi qua $M(0, -2)$ và có hệ số góc $m$, nên phương trình đường thẳng là: $$y = mx - 2$$ 3. **Tìm giao điểm $A, B$ của $d$ và $(P)$:** Giải hệ: $$-\frac{x^2}{4} = mx - 2$$ Hay: $$-\frac{x^2}{4} - mx + 2 = 0$$ Nhân cả hai vế với $-4$ để dễ giải: $$x^2 + 4mx - 8 = 0$$ 4. **Tính nghiệm của phương trình:** Theo công thức nghiệm: $$x = \frac{-4m \pm \sqrt{(4m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2} = \frac{-4m \pm \sqrt{16m^2 + 32}}{2}$$ 5. **Tọa độ hai điểm giao $A, B$:** $$x_1 = \frac{-4m - \sqrt{16m^2 + 32}}{2}, \quad x_2 = \frac{-4m + \sqrt{16m^2 + 32}}{2}$$ Tính $y$ theo $x$: $$y_i = m x_i - 2$$ 6. **Khoảng cách $AB$:** Công thức khoảng cách: $$AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$ Thay $y_i = m x_i - 2$: $$y_2 - y_1 = m(x_2 - x_1)$$ Do đó: $$AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (m(x_2 - x_1))^2} = |x_2 - x_1| \sqrt{1 + m^2}$$ 7. **Tính $x_2 - x_1$:** $$x_2 - x_1 = \frac{-4m + \sqrt{16m^2 + 32}}{2} - \frac{-4m - \sqrt{16m^2 + 32}}{2} = \frac{2 \sqrt{16m^2 + 32}}{2} = \sqrt{16m^2 + 32}$$ 8. **Biểu thức $AB$ theo $m$:** $$AB = \sqrt{16m^2 + 32} \cdot \sqrt{1 + m^2} = \sqrt{(16m^2 + 32)(1 + m^2)}$$ 9. **Tìm $m$ để $AB$ nhỏ nhất:** Gọi $$f(m) = (16m^2 + 32)(1 + m^2) = 16m^2 + 16m^4 + 32 + 32m^2 = 16m^4 + 48m^2 + 32$$ 10. **Tính đạo hàm:** $$f'(m) = 64m^3 + 96m$$ 11. **Giải $f'(m) = 0$:** $$64m^3 + 96m = 0 \Rightarrow m(64m^2 + 96) = 0$$ Ta có: - $m = 0$ - $64m^2 + 96 = 0 \Rightarrow m^2 = -\frac{96}{64} < 0$ (vô nghiệm thực) 12. **Kiểm tra giá trị tại $m=0$:** $$f(0) = 32$$ 13. **Giới hạn khi $m \to \pm \infty$:** $$f(m) \to +\infty$$ Vậy $f(m)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $m=0$. 14. **Kết luận:** Hệ số góc $m=0$ (đường thẳng $y = -2$) cho đoạn $AB$ có độ dài nhỏ nhất. **Đáp số:** $$m = 0$$