1. **Problemstellung:** Wir sollen 1 Liter der neuen Sorte PLOP mit 50% Gesamtfruchtgehalt und 20% Maracujaanteil aus den drei Mischgetränken A, B und C mischen. 2. **Gegebene Fruchtgehalte:** - A: Ananas 30%, Kirsche 15%, Maracuja 5% - B: Ananas 10%, Kirsche 20%, Maracuja 10% - C: Ananas 15%, Kirsche 15%, Maracuja 30% 3. **Variablen definieren:** Sei $x$, $y$, $z$ die Literanteile von A, B, C in der Mischung. 4. **Gesamtmenge:** $$x + y + z = 1$$ 5. **Gesamtfruchtgehalt 50%:** Gesamtfruchtgehalt ist Summe der Fruchtanteile aller Früchte in der Mischung. $$0{,}3x + 0{,}15x + 0{,}05x + 0{,}1y + 0{,}2y + 0{,}1y + 0{,}15z + 0{,}15z + 0{,}3z = 0{,}5$$ 6. **Fruchtgehalte zusammenfassen:** Für A: $0{,}3 + 0{,}15 + 0{,}05 = 0{,}5$ Für B: $0{,}1 + 0{,}2 + 0{,}1 = 0{,}4$ Für C: $0{,}15 + 0{,}15 + 0{,}3 = 0{,}6$ Also: $$0{,}5x + 0{,}4y + 0{,}6z = 0{,}5$$ 7. **Maracujaanteil 20%:** $$0{,}05x + 0{,}1y + 0{,}3z = 0{,}2$$ 8. **Gleichungssystem:** $$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 0{,}5x + 0{,}4y + 0{,}6z = 0{,}5 \\ 0{,}05x + 0{,}1y + 0{,}3z = 0{,}2 \end{cases}$$ 9. **Lösen:** Aus erster Gleichung: $$y = 1 - x - z$$ Einsetzen in zweite: $$0{,}5x + 0{,}4(1 - x - z) + 0{,}6z = 0{,}5$$ $$0{,}5x + 0{,}4 - 0{,}4x - 0{,}4z + 0{,}6z = 0{,}5$$ $$0{,}1x + 0{,}2z = 0{,}1$$ Einsetzen in dritte: $$0{,}05x + 0{,}1(1 - x - z) + 0{,}3z = 0{,}2$$ $$0{,}05x + 0{,}1 - 0{,}1x - 0{,}1z + 0{,}3z = 0{,}2$$ $$-0{,}05x + 0{,}2z = 0{,}1$$ 10. **Gleichungssystem mit zwei Variablen:** $$\begin{cases} 0{,}1x + 0{,}2z = 0{,}1 \\ -0{,}05x + 0{,}2z = 0{,}1 \end{cases}$$ 11. **Addiere beide Gleichungen:** $$0{,}1x - 0{,}05x + 0{,}2z + 0{,}2z = 0{,}1 + 0{,}1$$ $$0{,}05x + 0{,}4z = 0{,}2$$ 12. **Multipliziere zweite Gleichung mit 2:** $$-0{,}1x + 0{,}4z = 0{,}2$$ 13. **Addiere zu erster Gleichung:** $$0{,}1x + 0{,}2z = 0{,}1$$ $$-0{,}1x + 0{,}4z = 0{,}2$$ Summe: $$0{,}6z = 0{,}3$$ $$z = \frac{0{,}3}{0{,}6} = 0{,}5$$ 14. **Setze $z=0{,}5$ in erste Gleichung:** $$0{,}1x + 0{,}2 \times 0{,}5 = 0{,}1$$ $$0{,}1x + 0{,}1 = 0{,}1$$ $$0{,}1x = 0$$ $$x = 0$$ 15. **Setze $x=0$, $z=0{,}5$ in $y=1-x-z$:** $$y = 1 - 0 - 0{,}5 = 0{,}5$$ **Antwort:** $$x=0, \quad y=0{,}5, \quad z=0{,}5$$ Das bedeutet, man mischt 0 Liter von A, 0,5 Liter von B und 0,5 Liter von C, um 1 Liter PLOP mit 50% Gesamtfruchtgehalt und 20% Maracujaanteil zu erhalten.