1. ปัญหา: กำหนดฟังก์ชัน $f : \{1, 2, 3, ..., 2025\} \to \{0, 1, 2, 3, 4\}$ โดยที่ $f(n) = n \bmod 5$ จงหา 2. หาค่าโดเมน $D_f$ และเรนจ์ $R_f$ ของฟังก์ชัน 3. หา $f^{-1}(a)$ สำหรับทุก $a \in R_f$ 4. พิจารณาว่า $f$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injective) และฟังก์ชันทั่วถึง (surjective) หรือไม่ พร้อมเหตุผล --- 1. โดเมน $D_f$ คือเซตของค่าที่ฟังก์ชันรับเข้า ซึ่งกำหนดไว้ว่าเป็น $\{1, 2, 3, ..., 2025\}$ 2. เรนจ์ $R_f$ คือเซตของค่าที่ฟังก์ชันส่งออกได้ ซึ่ง $f(n) = n \bmod 5$ จะให้ผลลัพธ์เป็นเศษจากการหารด้วย 5 ดังนั้น $$R_f = \{0, 1, 2, 3, 4\}$$ 3. สำหรับ $f^{-1}(a)$ คือเซตของ $n$ ที่ทำให้ $f(n) = a$ โดย $a \in R_f$ - $f^{-1}(0) = \{n \in D_f : n \bmod 5 = 0\} = \{5, 10, 15, ..., 2025\}$ - $f^{-1}(1) = \{n \in D_f : n \bmod 5 = 1\} = \{1, 6, 11, ..., 2021\}$ - $f^{-1}(2) = \{n \in D_f : n \bmod 5 = 2\} = \{2, 7, 12, ..., 2022\}$ - $f^{-1}(3) = \{n \in D_f : n \bmod 5 = 3\} = \{3, 8, 13, ..., 2023\}$ - $f^{-1}(4) = \{n \in D_f : n \bmod 5 = 4\} = \{4, 9, 14, ..., 2024\}$ 4. การพิจารณาคุณสมบัติของฟังก์ชัน - ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injective): ฟังก์ชันนี้ไม่ใช่หนึ่งต่อหนึ่ง เพราะค่าต่าง ๆ ในโดเมนที่ต่างกัน เช่น 1 และ 6 ให้ค่า $f(n)$ เท่ากันคือ 1 - ฟังก์ชันทั่วถึง (surjective): ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันทั่วถึง เพราะทุกค่าในเรนจ์ $\{0,1,2,3,4\}$ มีค่าในโดเมนที่ส่งออกมาได้ --- **คำตอบ:** - $D_f = \{1, 2, 3, ..., 2025\}$ - $R_f = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ - $f^{-1}(a)$ สำหรับ $a \in R_f$ คือเซตของจำนวนเต็มในโดเมนที่มีเศษ $a$ เมื่อหารด้วย 5 ตามที่ระบุข้างต้น - $f$ ไม่ใช่ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง แต่เป็นฟังก์ชันทั่วถึง