1. **Problema:** Completiamo ponendo il simbolo opportuno tra <, =, > per le seguenti espressioni esponenziali. 2. **Regola importante:** Se la base $a > 1$, allora $a^{x_1} < a^{x_2}$ se e solo se $x_1 < x_2$. Se $0 < a < 1$, allora $a^{x_1} < a^{x_2}$ se e solo se $x_1 > x_2$. --- ### Esercizio 94 **a.** $(3/2)^{-\sqrt{5}}$ .... $(3/2)^{-5}$ - Base $a = 3/2 > 1$. - Confrontiamo gli esponenti: $-\sqrt{5}$ e $-5$. - Poiché $\sqrt{5} \approx 2.236$, allora $-2.236 > -5$. - Per la regola, dato $a > 1$ e $x_1 > x_2$, allora $a^{x_1} > a^{x_2}$. - Quindi: $(3/2)^{-\sqrt{5}} > (3/2)^{-5}$. **b.** $5^{3/2}$ .... $5^{3/4}$ - Base $a=5 > 1$. - Confrontiamo gli esponenti: $3/2 = 1.5$ e $3/4 = 0.75$. - Poiché $1.5 > 0.75$, allora $5^{3/2} > 5^{3/4}$. **c.** $(4/5)^{-3}$ .... $(4/5)^{-2}$ - Base $a=4/5 = 0.8 < 1$. - Confrontiamo gli esponenti: $-3$ e $-2$. - Poiché $-3 < -2$, e $a < 1$, allora l'ordine si inverte: $a^{x_1} < a^{x_2}$ se $x_1 > x_2$. - Qui $-3 < -2$ quindi $-3$ è minore, ma per $a<1$ la disuguaglianza si inverte. - Quindi: $(4/5)^{-3} < (4/5)^{-2}$. --- ### Esercizio 95 **a.** $(1/3)^4$ .... $(1/3)^8$ - Base $a=1/3 < 1$. - Confrontiamo gli esponenti: $4$ e $8$. - Poiché $4 < 8$ e $a < 1$, allora $a^{4} > a^{8}$. - Quindi: $(1/3)^4 > (1/3)^8$. **b.** $(7/5)^2$ .... $(7/5)^3$ - Base $a=7/5 > 1$. - Confrontiamo gli esponenti: $2$ e $3$. - Poiché $2 < 3$ e $a > 1$, allora $a^{2} < a^{3}$. - Quindi: $(7/5)^2 < (7/5)^3$. **c.** $7^{3/4}$ .... $7^{3/4}$ - Stessi esponenti, quindi uguali. --- **Riassunto:** - Esercizio 94: a) >, b) >, c) < - Esercizio 95: a) >, b) <, c) = Questi risultati derivano dall'applicazione della regola fondamentale sulle funzioni esponenziali e il confronto degli esponenti in base al valore della base $a$.