1. **问题陈述**：已知幂函数 $$f(x) = (m^2 - 2m - 2)x^{m-1}$$ 在区间 $$[0, +\infty)$$ 上单调递增，求 $$m$$ 的值。 2. **公式与规则**： - 幂函数形式为 $$x^k$$，当 $$k > 0$$ 时，在 $$[0, +\infty)$$ 上单调递增。 - 函数单调递增要求系数和指数满足相应条件。 3. **求解步骤**： - 由题意，函数为幂函数，系数为 $$m^2 - 2m - 2$$，指数为 $$m-1$$。 - 幂函数的系数必须为正且指数 $$m-1 > 0$$，即 $$m > 1$$。 - 题中给出 $$f(x)$$ 是幂函数，且满足单调递增，故系数应为 1： $$m^2 - 2m - 2 = 1$$ - 解方程： $$m^2 - 2m - 2 = 1 \Rightarrow m^2 - 2m - 3 = 0$$ - 因式分解： $$ (m - 3)(m + 1) = 0 $$ - 解得： $$m = 3 \quad \text{或} \quad m = -1$$ - 检验指数： - 当 $$m=3$$，指数 $$3-1=2 > 0$$，系数 $$3^2 - 2\times3 - 2 = 9 - 6 - 2 = 1 > 0$$，函数为 $$f(x) = x^2$$，在 $$[0, +\infty)$$ 上单调递增，符合题意。 - 当 $$m=-1$$，指数 $$-1 - 1 = -2 < 0$$，函数为 $$f(x) = x^{-2}$$，在 $$[0, +\infty)$$ 上单调递减，不符合题意。 4. **结论**： $$\boxed{m = 3}$$