1. Énoncé du problème : Soient $a$, $m$ et $n$ trois entiers relatifs, avec $m$ et $n$ multiples de $a$. 1.a. Traduction de l'hypothèse : Si $m$ et $n$ sont multiples de $a$, alors il existe des entiers relatifs $k$ et $l$ tels que $$m = a k \quad \text{et} \quad n = a l.$$ 1.b. Montrer que la somme $(m+n)$ est divisible par $a$ : En remplaçant $m$ et $n$ par leurs expressions, on a $$m + n = a k + a l = a(k + l).$$ Comme $k + l$ est un entier, $m+n$ est un multiple de $a$, donc divisible par $a$. 2.a. Montrer que la différence $(m-n)$ est un multiple de $a$ : De même, $$m - n = a k - a l = a(k - l).$$ Puisque $k - l$ est un entier, $m-n$ est un multiple de $a$. 2.b. Montrer que le produit $m n$ est un multiple de $a$ : On a $$m n = (a k)(a l) = a^2 k l = a (a k l).$$ Comme $a k l$ est un entier, $m n$ est un multiple de $a$. Ainsi, la somme, la différence et le produit de deux multiples de $a$ sont eux-mêmes multiples de $a$.