1. **Planteamiento del problema:** Multiplicar los polinomios dados. 2. **Polinomios:** $$P(x) = 7x^{2} + 15x - 23x^{4} - 52 + 42x^{3} + x^{0}$$ Simplificamos $x^{0} = 1$, entonces: $$P(x) = -23x^{4} + 42x^{3} + 7x^{2} + 15x - 52 + 1 = -23x^{4} + 42x^{3} + 7x^{2} + 15x - 51$$ $$Q(x) = 3x - 2$$ $$R(x) = 5x - 1$$ 3. **Multiplicación de polinomios:** Se multiplica cada término de un polinomio por cada término del otro y se suman los resultados. ### Parte 1: Calcular $P(x) \cdot Q(x)$ Multiplicamos término a término: $$P(x) \cdot Q(x) = (-23x^{4} + 42x^{3} + 7x^{2} + 15x - 51)(3x - 2)$$ Multiplicamos cada término: - $-23x^{4} \cdot 3x = -69x^{5}$ - $-23x^{4} \cdot (-2) = +46x^{4}$ - $42x^{3} \cdot 3x = 126x^{4}$ - $42x^{3} \cdot (-2) = -84x^{3}$ - $7x^{2} \cdot 3x = 21x^{3}$ - $7x^{2} \cdot (-2) = -14x^{2}$ - $15x \cdot 3x = 45x^{2}$ - $15x \cdot (-2) = -30x$ - $-51 \cdot 3x = -153x$ - $-51 \cdot (-2) = +102$ 4. **Sumamos términos semejantes:** - $x^{5}$: $-69x^{5}$ - $x^{4}$: $46x^{4} + 126x^{4} = 172x^{4}$ - $x^{3}$: $-84x^{3} + 21x^{3} = -63x^{3}$ - $x^{2}$: $-14x^{2} + 45x^{2} = 31x^{2}$ - $x$: $-30x - 153x = -183x$ - Constante: $102$ Por lo tanto: $$P(x) \cdot Q(x) = -69x^{5} + 172x^{4} - 63x^{3} + 31x^{2} - 183x + 102$$ --- ### Parte 2: Calcular $P(x) \cdot R(x)$ Multiplicamos: $$P(x) \cdot R(x) = (-23x^{4} + 42x^{3} + 7x^{2} + 15x - 51)(5x - 1)$$ Multiplicamos cada término: - $-23x^{4} \cdot 5x = -115x^{5}$ - $-23x^{4} \cdot (-1) = +23x^{4}$ - $42x^{3} \cdot 5x = 210x^{4}$ - $42x^{3} \cdot (-1) = -42x^{3}$ - $7x^{2} \cdot 5x = 35x^{3}$ - $7x^{2} \cdot (-1) = -7x^{2}$ - $15x \cdot 5x = 75x^{2}$ - $15x \cdot (-1) = -15x$ - $-51 \cdot 5x = -255x$ - $-51 \cdot (-1) = +51$ 5. **Sumamos términos semejantes:** - $x^{5}$: $-115x^{5}$ - $x^{4}$: $23x^{4} + 210x^{4} = 233x^{4}$ - $x^{3}$: $-42x^{3} + 35x^{3} = -7x^{3}$ - $x^{2}$: $-7x^{2} + 75x^{2} = 68x^{2}$ - $x$: $-15x - 255x = -270x$ - Constante: $51$ Por lo tanto: $$P(x) \cdot R(x) = -115x^{5} + 233x^{4} - 7x^{3} + 68x^{2} - 270x + 51$$