1. Planteamos el problema: Multiplicar los polinomios dados según cada inciso. 2. Recordemos que para multiplicar polinomios usamos la propiedad distributiva: $$ (P(x) \cdot Q(x)) = \sum (\text{coeficientes de } P(x) \times \text{coeficientes de } Q(x)) \times x^{\text{suma de exponentes}} $$ 3. Polinomios dados: - $$A(x) = 5x^5 + 3x^4 - 4x^2 + \frac{x}{2} - 2$$ - $$B(x) = 3x^2 + x - 2$$ - $$C(x) = 7x - 10x^2 + 10$$ - $$D(x) = \frac{x^2}{5} + 2x + 2$$ 4. a) Multiplicamos $$A(x) \cdot B(x)$$: $$A(x) \cdot B(x) = (5x^5 + 3x^4 - 4x^2 + \frac{x}{2} - 2)(3x^2 + x - 2)$$ Multiplicamos término a término y agrupamos: $$= 5x^5 \cdot 3x^2 + 5x^5 \cdot x + 5x^5 \cdot (-2) + 3x^4 \cdot 3x^2 + 3x^4 \cdot x + 3x^4 \cdot (-2) - 4x^2 \cdot 3x^2 - 4x^2 \cdot x - 4x^2 \cdot (-2) + \frac{x}{2} \cdot 3x^2 + \frac{x}{2} \cdot x + \frac{x}{2} \cdot (-2) - 2 \cdot 3x^2 - 2 \cdot x - 2 \cdot (-2)$$ Simplificamos cada término: $$= 15x^{7} + 5x^{6} - 10x^{5} + 9x^{6} + 3x^{5} - 6x^{4} - 12x^{4} - 4x^{3} + 8x^{2} + \frac{3}{2}x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} - x - 6x^{2} - 2x + 4$$ Agrupamos términos semejantes: $$= 15x^{7} + (5x^{6} + 9x^{6}) + (-10x^{5} + 3x^{5}) + (-6x^{4} - 12x^{4}) + (-4x^{3} + \frac{3}{2}x^{3}) + (8x^{2} + \frac{1}{2}x^{2} - 6x^{2}) + (-x - 2x) + 4$$ $$= 15x^{7} + 14x^{6} - 7x^{5} - 18x^{4} - \frac{5}{2}x^{3} + \frac{5}{2}x^{2} - 3x + 4$$ 5. b) Calculamos $$-A(x) \cdot C(x)$$: Primero calculamos $$A(x) \cdot C(x)$$ y luego multiplicamos por $$-1$$. $$A(x) \cdot C(x) = (5x^5 + 3x^4 - 4x^2 + \frac{x}{2} - 2)(7x - 10x^2 + 10)$$ Multiplicamos término a término: $$= 5x^5 \cdot 7x + 5x^5 \cdot (-10x^2) + 5x^5 \cdot 10 + 3x^4 \cdot 7x + 3x^4 \cdot (-10x^2) + 3x^4 \cdot 10 - 4x^2 \cdot 7x - 4x^2 \cdot (-10x^2) - 4x^2 \cdot 10 + \frac{x}{2} \cdot 7x + \frac{x}{2} \cdot (-10x^2) + \frac{x}{2} \cdot 10 - 2 \cdot 7x - 2 \cdot (-10x^2) - 2 \cdot 10$$ Simplificamos: $$= 35x^{6} - 50x^{7} + 50x^{5} + 21x^{5} - 30x^{6} + 30x^{4} - 28x^{3} + 40x^{4} - 40x^{2} + \frac{7}{2}x^{2} - 5x^{3} + 5x - 14x + 20x^{2} - 20$$ Agrupamos términos semejantes: $$= -50x^{7} + (35x^{6} - 30x^{6}) + (50x^{5} + 21x^{5}) + (30x^{4} + 40x^{4}) + (-28x^{3} - 5x^{3}) + (-40x^{2} + \frac{7}{2}x^{2} + 20x^{2}) + (5x - 14x) - 20$$ $$= -50x^{7} + 5x^{6} + 71x^{5} + 70x^{4} - 33x^{3} - \frac{13}{2}x^{2} - 9x - 20$$ Multiplicamos por $$-1$$: $$-A(x) \cdot C(x) = 50x^{7} - 5x^{6} - 71x^{5} - 70x^{4} + 33x^{3} + \frac{13}{2}x^{2} + 9x + 20$$ 6. c) Multiplicamos $$B(x) \cdot C(x)$$: $$= (3x^2 + x - 2)(7x - 10x^2 + 10)$$ Multiplicamos término a término: $$= 3x^2 \cdot 7x + 3x^2 \cdot (-10x^2) + 3x^2 \cdot 10 + x \cdot 7x + x \cdot (-10x^2) + x \cdot 10 - 2 \cdot 7x - 2 \cdot (-10x^2) - 2 \cdot 10$$ Simplificamos: $$= 21x^{3} - 30x^{4} + 30x^{2} + 7x^{2} - 10x^{3} + 10x - 14x + 20x^{2} - 20$$ Agrupamos términos semejantes: $$= -30x^{4} + (21x^{3} - 10x^{3}) + (30x^{2} + 7x^{2} + 20x^{2}) + (10x - 14x) - 20$$ $$= -30x^{4} + 11x^{3} + 57x^{2} - 4x - 20$$ 7. d) Multiplicamos $$A(x) \cdot C(x)$$ (ya calculado en b)): $$A(x) \cdot C(x) = -50x^{7} + 5x^{6} + 71x^{5} + 70x^{4} - 33x^{3} - \frac{13}{2}x^{2} - 9x - 20$$ 8. e) Multiplicamos $$D(x) \cdot B(x)$$: $$= \left(\frac{x^2}{5} + 2x + 2\right)(3x^2 + x - 2)$$ Multiplicamos término a término: $$= \frac{x^2}{5} \cdot 3x^2 + \frac{x^2}{5} \cdot x + \frac{x^2}{5} \cdot (-2) + 2x \cdot 3x^2 + 2x \cdot x + 2x \cdot (-2) + 2 \cdot 3x^2 + 2 \cdot x + 2 \cdot (-2)$$ Simplificamos: $$= \frac{3}{5}x^{4} + \frac{1}{5}x^{3} - \frac{2}{5}x^{2} + 6x^{3} + 2x^{2} - 4x + 6x^{2} + 2x - 4$$ Agrupamos términos semejantes: $$= \frac{3}{5}x^{4} + (\frac{1}{5}x^{3} + 6x^{3}) + (-\frac{2}{5}x^{2} + 2x^{2} + 6x^{2}) + (-4x + 2x) - 4$$ $$= \frac{3}{5}x^{4} + \frac{31}{5}x^{3} + \frac{28}{5}x^{2} - 2x - 4$$ 9. f) Calculamos $$-D(x) \cdot B(x)$$: Multiplicamos el resultado anterior por $$-1$$: $$-D(x) \cdot B(x) = -\frac{3}{5}x^{4} - \frac{31}{5}x^{3} - \frac{28}{5}x^{2} + 2x + 4$$ 10. g) Calculamos $$A(x) \cdot (-D(x))$$: Multiplicamos $$A(x) \cdot D(x)$$ y luego por $$-1$$. $$A(x) \cdot D(x) = (5x^5 + 3x^4 - 4x^2 + \frac{x}{2} - 2) \left(\frac{x^2}{5} + 2x + 2\right)$$ Multiplicamos término a término: $$= 5x^5 \cdot \frac{x^2}{5} + 5x^5 \cdot 2x + 5x^5 \cdot 2 + 3x^4 \cdot \frac{x^2}{5} + 3x^4 \cdot 2x + 3x^4 \cdot 2 - 4x^2 \cdot \frac{x^2}{5} - 4x^2 \cdot 2x - 4x^2 \cdot 2 + \frac{x}{2} \cdot \frac{x^2}{5} + \frac{x}{2} \cdot 2x + \frac{x}{2} \cdot 2 - 2 \cdot \frac{x^2}{5} - 2 \cdot 2x - 2 \cdot 2$$ Simplificamos: $$= x^{7} + 10x^{6} + 10x^{5} + \frac{3}{5}x^{6} + 6x^{5} + 6x^{4} - \frac{4}{5}x^{4} - 8x^{3} - 8x^{2} + \frac{1}{10}x^{3} + x^{2} + x - \frac{2}{5}x^{2} - 4x - 4$$ Agrupamos términos semejantes: $$= x^{7} + \left(10x^{6} + \frac{3}{5}x^{6}\right) + \left(10x^{5} + 6x^{5}\right) + \left(6x^{4} - \frac{4}{5}x^{4}\right) + \left(-8x^{3} + \frac{1}{10}x^{3}\right) + \left(-8x^{2} + x^{2} - \frac{2}{5}x^{2}\right) + (x - 4x) - 4$$ $$= x^{7} + \frac{53}{5}x^{6} + 16x^{5} + \frac{26}{5}x^{4} - \frac{79}{10}x^{3} - \frac{27}{5}x^{2} - 3x - 4$$ Multiplicamos por $$-1$$: $$A(x) \cdot (-D(x)) = -x^{7} - \frac{53}{5}x^{6} - 16x^{5} - \frac{26}{5}x^{4} + \frac{79}{10}x^{3} + \frac{27}{5}x^{2} + 3x + 4$$