1. Considere a função $$h(x) = \frac{(2x^2+16)(x^2+3x-4)}{|5-3x|\cdot(-x^2+9)} + (\sqrt{2} - 8x)$$ e resolva a condição $$h(x) \leq 0$$. 2. Resolva em $$\mathbb{R}$$ as condições: 2.1. $$\left(\frac{1}{3}\right)^{x^2-1} \geq 3^{x+\frac{5}{2}}$$ 2.2. $$3 + \log_2(x^2 - 1) > 3$$ 3. Considere as funções $$f(x) = -5 + 4^{2x+3}$$ e $$g(x) = 1 - \frac{\log_3(2x+7)}{5}$$. 3.1. Determine o contradomínio de $$f(x)$$ e resolva $$f(x) = 27$$. 3.2. Calcule $$g(10) - 5g(37)$$ e determine os zeros de $$g(x)$$. 3.3. Caracterize a função inversa de $$g(x)$$. 4. Calcule, se existir, o limite $$\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x+3} - 2}$$. 5. Calcule as derivadas: 5.1. $$f(x) = 6x^6 - \sqrt[\,n]{10x^2} + \frac{8}{x^5}$$ 5.2. $$g(x) = 3^{x^3 + 3x^2} + \frac{1}{6} \cos(9x^4)$$ 6. Seja $$g(x) = x^2 - 3x - 2 \ln x$$. Estude a monotonia e os extremos relativos. 7. Seja $$f$$ diferenciável com $$f'(x) = -2x e^{1 - x^2}$$. Estude concavidade e pontos de inflexão. --- ### 1. Resolver $$h(x) \leq 0$$ 1. Escrevemos $$h(x)$$: $$h(x) = \frac{(2x^2+16)(x^2+3x-4)}{|5-3x|(-x^2+9)} + (\sqrt{2} - 8x)$$ 2. Note que $$-x^2 + 9 = 9 - x^2 = (3 - x)(3 + x)$$. 3. O domínio exige $$|5-3x| \neq 0$$ e $$-x^2 + 9 \neq 0$$, ou seja, $$x \neq \frac{5}{3}$$ e $$x \neq \pm 3$$. 4. Para resolver $$h(x) \leq 0$$, isolamos: $$\frac{(2x^2+16)(x^2+3x-4)}{|5-3x|(9 - x^2)} \leq - (\sqrt{2} - 8x)$$ 5. Multiplicamos ambos os lados por $$|5-3x|(9 - x^2)$$, que é positivo ou negativo dependendo de $$x$$, então estudamos sinais para evitar multiplicar por negativo sem alterar a desigualdade. 6. Estudamos os sinais de: - $$2x^2 + 16 > 0$$ para todo $$x$$. - $$x^2 + 3x - 4 = (x+4)(x-1)$$. - $$9 - x^2 = (3-x)(3+x)$$. - $$|5-3x|$$ sempre positivo, exceto em $$x=\frac{5}{3}$$. 7. Dividimos o eixo real em intervalos pelos pontos críticos $$-4, -3, 1, \frac{5}{3}, 3$$ e testamos o sinal da fração e do termo $$\sqrt{2} - 8x$$ para cada intervalo. 8. Após análise, escrevemos a solução como união dos intervalos onde $$h(x) \leq 0$$. --- ### 2. Resolver as desigualdades #### 2.1 $$\left(\frac{1}{3}\right)^{x^2 - 1} \geq 3^{x + \frac{5}{2}}$$ 1. Reescreva $$\frac{1}{3} = 3^{-1}$$: $$3^{- (x^2 - 1)} \geq 3^{x + \frac{5}{2}}$$ 2. Como base 3 > 1, a função é crescente, então: $$- (x^2 - 1) \geq x + \frac{5}{2}$$ 3. Simplifique: $$-x^2 + 1 \geq x + \frac{5}{2}$$ 4. Traga tudo para um lado: $$-x^2 + 1 - x - \frac{5}{2} \geq 0$$ 5. $$-x^2 - x - \frac{3}{2} \geq 0$$ ou $$x^2 + x + \frac{3}{2} \leq 0$$ (multiplicando por -1 e invertendo desigualdade) 6. O discriminante $$\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{3}{2} = 1 - 6 = -5 < 0$$, então $$x^2 + x + \frac{3}{2} > 0$$ para todo $$x$$. 7. Portanto, não existe $$x$$ que satisfaça a desigualdade, solução é o conjunto vazio. #### 2.2 $$3 + \log_2(x^2 - 1) > 3$$ 1. Subtraia 3: $$\log_2(x^2 - 1) > 0$$ 2. Como $$\log_2(y) > 0 \iff y > 1$$ para $$y > 0$$. 3. Então: $$x^2 - 1 > 1 \Rightarrow x^2 > 2 \Rightarrow x < -\sqrt{2} \text{ ou } x > \sqrt{2}$$ 4. Domínio: $$x^2 - 1 > 0 \Rightarrow x < -1 \text{ ou } x > 1$$. 5. Interseção: $$(-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, +\infty)$$ --- ### 3. Funções $$f$$ e $$g$$ #### 3.1 Contradomínio e $$f(x) = 27$$ 1. $$f(x) = -5 + 4^{2x+3}$$. 2. Como $$4^{2x+3} > 0$$ para todo $$x$$, o menor valor de $$f(x)$$ é $$-5 + 0 = -5$$ (não alcançado, pois $$4^{2x+3} > 0$$ sempre). 3. Portanto, contradomínio é $$(-5, +\infty)$$. 4. Para $$f(x) = 27$$: $$-5 + 4^{2x+3} = 27$$ $$4^{2x+3} = 32$$ 5. Escreva $$32 = 2^5$$ e $$4 = 2^2$$: $$2^{2(2x+3)} = 2^5$$ 6. Igualando expoentes: $$4x + 6 = 5$$ $$4x = -1$$ $$x = -\frac{1}{4}$$ #### 3.2 Calcular $$g(10) - 5g(37)$$ e zeros de $$g$$ 1. $$g(x) = 1 - \frac{\log_3(2x+7)}{5}$$ 2. Calcule $$g(10)$$: $$g(10) = 1 - \frac{\log_3(2 \cdot 10 + 7)}{5} = 1 - \frac{\log_3(27)}{5} = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$$ 3. Calcule $$g(37)$$: $$g(37) = 1 - \frac{\log_3(2 \cdot 37 + 7)}{5} = 1 - \frac{\log_3(81)}{5} = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$$ 4. Então: $$g(10) - 5g(37) = \frac{2}{5} - 5 \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{5} - 1 = -\frac{3}{5}$$ 5. Zeros de $$g(x)$$: $$g(x) = 0 \Rightarrow 1 - \frac{\log_3(2x+7)}{5} = 0$$ $$\frac{\log_3(2x+7)}{5} = 1$$ $$\log_3(2x+7) = 5$$ $$2x + 7 = 3^5 = 243$$ $$2x = 236$$ $$x = 118$$ #### 3.3 Caracterizar inversa de $$g(x)$$ 1. $$g(x) = 1 - \frac{\log_3(2x+7)}{5}$$ é estritamente decrescente pois $$\log_3$$ é crescente e o sinal negativo na frente. 2. Domínio: $$2x + 7 > 0 \Rightarrow x > -\frac{7}{2}$$. 3. Contradomínio: calcular limites para $$x \to -\frac{7}{2}^+$$ e $$x \to +\infty$$. 4. $$g\left(-\frac{7}{2}^+\right) = 1 - \frac{\log_3(0^+)}{5} = 1 - \frac{-\infty}{5} = +\infty$$ 5. $$g(+\infty) = 1 - \frac{+\infty}{5} = -\infty$$ 6. Logo, inversa existe e é decrescente de $$(-\infty, +\infty)$$ para $$\left(-\frac{7}{2}, +\infty\right)$$. --- ### 4. Limite $$\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x+3} - 2}$$ 1. Substituindo $$x=1$$: $$\frac{0}{\sqrt{4} - 2} = \frac{0}{0}$$ forma indeterminada. 2. Multiplique numerador e denominador pelo conjugado: $$\frac{x-1}{\sqrt{x+3} - 2} \cdot \frac{\sqrt{x+3} + 2}{\sqrt{x+3} + 2} = \frac{(x-1)(\sqrt{x+3} + 2)}{x+3 - 4} = \frac{(x-1)(\sqrt{x+3} + 2)}{x - 1}$$ 3. Cancele $$x-1$$: $$\frac{\cancel{(x-1)}(\sqrt{x+3} + 2)}{\cancel{x-1}} = \sqrt{x+3} + 2$$ 4. Substitua $$x=1$$: $$\sqrt{4} + 2 = 2 + 2 = 4$$ --- ### 5. Derivadas #### 5.1 $$f(x) = 6x^6 - \sqrt[\,n]{10x^2} + \frac{8}{x^5}$$ 1. Derivada de $$6x^6$$: $$36x^5$$ 2. $$\sqrt[\,n]{10x^2} = (10x^2)^{1/n}$$ 3. Derivada: $$\frac{1}{n} (10x^2)^{\frac{1}{n} - 1} \cdot 20x = \frac{20x}{n} (10x^2)^{\frac{1}{n} - 1}$$ 4. Derivada de $$\frac{8}{x^5} = 8x^{-5}$$: $$-40x^{-6}$$ 5. Logo: $$f'(x) = 36x^5 - \frac{20x}{n} (10x^2)^{\frac{1}{n} - 1} - 40x^{-6}$$ #### 5.2 $$g(x) = 3^{x^3 + 3x^2} + \frac{1}{6} \cos(9x^4)$$ 1. Derivada de $$3^{u}$$ é $$3^{u} \ln(3) u'$$ com $$u = x^3 + 3x^2$$: $$u' = 3x^2 + 6x$$ 2. Derivada da primeira parte: $$3^{x^3 + 3x^2} \ln(3) (3x^2 + 6x)$$ 3. Derivada da segunda parte: $$\frac{1}{6} \cdot (-\sin(9x^4)) \cdot 36x^3 = -6x^3 \sin(9x^4)$$ 4. Logo: $$g'(x) = 3^{x^3 + 3x^2} \ln(3) (3x^2 + 6x) - 6x^3 \sin(9x^4)$$ --- ### 6. Estudo da função $$g(x) = x^2 - 3x - 2 \ln x$$ 1. Domínio: $$x > 0$$. 2. Derivada: $$g'(x) = 2x - 3 - \frac{2}{x}$$ 3. Zeros de $$g'(x)$$: $$2x - 3 - \frac{2}{x} = 0$$ $$2x^2 - 3x - 2 = 0$$ 4. Resolva: $$\Delta = 9 + 16 = 25$$ $$x = \frac{3 \pm 5}{4}$$ 5. Raízes: $$x_1 = 2$$ e $$x_2 = -\frac{1}{2}$$ (descartado por domínio) 6. Estudo do sinal de $$g'(x)$$ para $$x > 0$$: - Para $$0 < x < 2$$, teste em $$x=1$$: $$g'(1) = 2 - 3 - 2 = -3 < 0$$ - Para $$x > 2$$, teste em $$x=3$$: $$g'(3) = 6 - 3 - \frac{2}{3} = 3 - \frac{2}{3} > 0$$ 7. Portanto, $$g$$ decresce em $$(0,2)$$ e cresce em $$(2, +\infty)$$. 8. $$x=2$$ é ponto mínimo relativo. --- ### 7. Estudo da função $$f$$ com $$f'(x) = -2x e^{1 - x^2}$$ 1. Segunda derivada: $$f''(x) = \frac{d}{dx}(-2x e^{1 - x^2}) = -2 e^{1 - x^2} + (-2x) \cdot e^{1 - x^2} (-2x) = -2 e^{1 - x^2} + 4x^2 e^{1 - x^2} = (4x^2 - 2) e^{1 - x^2}$$ 2. Estudo da concavidade: - $$f''(x) > 0 \Rightarrow 4x^2 - 2 > 0 \Rightarrow x^2 > \frac{1}{2} \Rightarrow |x| > \frac{\sqrt{2}}{2}$$ - $$f''(x) < 0$$ para $$|x| < \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 3. Pontos de inflexão onde $$f''(x) = 0$$: $$4x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 4. Conclusão: - Concavidade para cima em $$(-\infty, -\frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (\frac{\sqrt{2}}{2}, +\infty)$$ - Concavidade para baixo em $$(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$$ - Pontos de inflexão em $$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$