1. ปัญหา: แก้ระบบสมการเชิงเส้น 3 ตัวแปร สมการ: $$\begin{cases} 2x + y - z = 3 \\ x - 2y + 3z = -1 \\ 3x + y + 2z = 4 \end{cases}$$ สูตรและกฎ: ใช้วิธีการแทนค่า หรือวิธีการกำจัดตัวแปรเพื่อหาค่าของ $x$, $y$, และ $z$. ขั้นตอน: 1. จากสมการที่ 1: $2x + y - z = 3$ 2. จากสมการที่ 2: $x - 2y + 3z = -1$ 3. จากสมการที่ 3: $3x + y + 2z = 4$ 4. แก้สมการที่ 1 สำหรับ $y$: $y = 3 - 2x + z$ 5. แทนค่า $y$ ในสมการที่ 2 และ 3 เพื่อหาความสัมพันธ์ระหว่าง $x$ และ $z$ 6. แก้สมการที่เหลือเพื่อหาค่า $x$ และ $z$ 7. แทนค่ากลับเพื่อหาค่า $y$ 2. ปัญหา: หาค่าของ $x$, $y$ ที่ทำให้สมการ $x^2 + y^2 = 25$ และ $x - y = 1$ เป็นจริง สูตรและกฎ: ใช้การแทนค่าและสมการกำลังสอง ขั้นตอน: 1. จากสมการที่สอง: $x = y + 1$ 2. แทนค่าในสมการแรก: $(y + 1)^2 + y^2 = 25$ 3. ขยายและจัดรูป: $y^2 + 2y + 1 + y^2 = 25$ 4. รวมพจน์: $2y^2 + 2y + 1 = 25$ 5. ย้ายข้าง: $2y^2 + 2y - 24 = 0$ 6. หารทั้งสองข้างด้วย 2: $y^2 + y - 12 = 0$ 7. แก้สมการกำลังสอง: $(y + 4)(y - 3) = 0$ 8. ค่าของ $y$ คือ $-4$ หรือ $3$ 9. แทนค่ากลับหา $x$: ถ้า $y = -4$, $x = -3$; ถ้า $y = 3$, $x = 4$ 3. ปัญหา: หาค่าของ $a$, $b$ ที่ทำให้สมการ $ax + by = 10$ มีจุดตัดแกน $x$ ที่ 5 และจุดตัดแกน $y$ ที่ 2 สูตรและกฎ: จุดตัดแกน $x$ คือเมื่อ $y=0$, จุดตัดแกน $y$ คือเมื่อ $x=0$ ขั้นตอน: 1. เมื่อ $y=0$, $ax = 10$ และ $x=5$ ดังนั้น $a \times 5 = 10 \Rightarrow a = 2$ 2. เมื่อ $x=0$, $by = 10$ และ $y=2$ ดังนั้น $b \times 2 = 10 \Rightarrow b = 5$ 4. ปัญหา: แก้สมการพหุนาม $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ สูตรและกฎ: ใช้วิธีการแยกตัวประกอบ ขั้นตอน: 1. หาค่ารากโดยการลองแทนค่า $x = 1, 2, 3$ 2. พบว่า $x=1$ เป็นราก เพราะ $1 - 6 + 11 - 6 = 0$ 3. แบ่งพหุนามด้วย $(x - 1)$ ได้ $x^2 - 5x + 6$ 4. แยกตัวประกอบ $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ 5. ดังนั้นรากของสมการคือ $x = 1, 2, 3$ 5. ปัญหา: หาค่าของ $k$ ที่ทำให้สมการ $kx^2 - 4x + 1 = 0$ มีคำตอบซ้ำ สูตรและกฎ: สมการกำลังสองมีคำตอบซ้ำเมื่อดีสคริมิแนนต์ $\Delta = 0$ ขั้นตอน: 1. ดีสคริมิแนนต์ $\Delta = b^2 - 4ac$ 2. สำหรับสมการนี้ $a = k$, $b = -4$, $c = 1$ 3. คำนวณ $\Delta = (-4)^2 - 4 \times k \times 1 = 16 - 4k$ 4. ตั้งสมการ $16 - 4k = 0$ 5. แก้สมการได้ $k = 4$