1. **تمرين 1: إنشاء الأعداد على المستقيم العددية** - الأعداد المعطاة: $\frac{3}{4}, \frac{6}{7}, \frac{2}{6}, \frac{1}{6}$. - لترتيبها على المستقيم، نحسب قيمها العشرية: $\frac{3}{4} = 0.75$ $\frac{6}{7} \approx 0.857$ $\frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0.333$ $\frac{1}{6} \approx 0.167$ - الترتيب من الأصغر للأكبر على المستقيم: $\frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \frac{3}{4}, \frac{6}{7}$. - الأعداد الجذرية المعطاة: $\sqrt{5}, \sqrt{7}, \sqrt{5}, \sqrt{7}, 1 + \frac{2}{1}$. - حساب القيم التقريبية: $\sqrt{5} \approx 2.236$ $\sqrt{7} \approx 2.645$ $1 + \frac{2}{1} = 3$ 2. **تمرين 2: إثبات أن الجذور ليست أعدادًا نسبية** - إثبات أن $\sqrt{2}$ عدد غير نسبي (غير ناطق): نفترض العكس، أن $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$ حيث $p,q$ أعداد صحيحة أولية. بالتربيع: $2 = \frac{p^2}{q^2} \Rightarrow p^2 = 2q^2$. إذن $p^2$ زوجي، و $p$ زوجي، نكتب $p=2k$. بالتعويض: $(2k)^2 = 2q^2 \Rightarrow 4k^2 = 2q^2 \Rightarrow 2k^2 = q^2$. إذن $q^2$ زوجي، و $q$ زوجي. هذا يتناقض مع كون $p,q$ أوليين معًا. إذن $\sqrt{2}$ غير نسبي. - نفس البرهان ينطبق على $\sqrt{3}$. 3. **تمرين 3: مسائل رياضية** - المعادلة: $\frac{4}{4} - 0 = 1$ صحيحة. - إثبات أن $\frac{1}{7}$ ليس عددًا عشريًا نهائيًا: الأعداد العشرية النهائية هي التي يمكن كتابتها على شكل $\frac{a}{2^m 5^n}$. المقام 7 لا يحتوي على عوامل 2 أو 5، إذن $\frac{1}{7}$ عدد عشري دوري وليس نهائي. - إثبات أن لكل عدد طبيعي $n$: $$\frac{n+3}{n+7} \neq 1$$ لأن: $$\frac{n+3}{n+7} = 1 \Rightarrow n+3 = n+7 \Rightarrow 3=7$$ وهذا مستحيل، إذن لا يساوي 1 لأي $n$ طبيعي. **النتائج النهائية:** - ترتيب الأعداد على المستقيم: $\frac{1}{6} < \frac{2}{6} < \frac{3}{4} < \frac{6}{7}$. - $\sqrt{2}$ و $\sqrt{3}$ أعداد غير نسبية. - $\frac{1}{7}$ عدد عشري دوري وليس نهائي. - $\frac{n+3}{n+7} \neq 1$ لأي عدد طبيعي $n$.