1. Stwierdźmy problem: Rozwiąż nierówność $$\frac{3x - 2}{\frac{x}{4}} \geq -1$$. 2. Przekształćmy wyrażenie w liczniku i mianowniku, aby uprościć nierówność. Zauważmy, że dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność: $$\frac{3x - 2}{\frac{x}{4}} = (3x - 2) \times \frac{4}{x} = \frac{4(3x - 2)}{x}$$ 3. Nierówność przyjmuje postać: $$\frac{4(3x - 2)}{x} \geq -1$$ 4. Przenieśmy wszystko na jedną stronę, aby mieć nierówność w postaci jednej funkcji: $$\frac{4(3x - 2)}{x} + 1 \geq 0$$ 5. Doprowadźmy do wspólnego mianownika: $$\frac{4(3x - 2)}{x} + \frac{x}{x} = \frac{4(3x - 2) + x}{x} = \frac{12x - 8 + x}{x} = \frac{13x - 8}{x} \geq 0$$ 6. Teraz rozwiążemy nierówność: $$\frac{13x - 8}{x} \geq 0$$ 7. Zauważmy, że mianownik $x \neq 0$ (bo dzielenie przez zero jest niedozwolone). 8. Nierówność ułamkowa jest spełniona, gdy licznik i mianownik mają ten sam znak lub licznik jest zero. 9. Wyznaczmy miejsca zerowe licznika i mianownika: - Licznik: $13x - 8 = 0 \Rightarrow x = \frac{8}{13}$ - Mianownik: $x = 0$ 10. Podzielmy oś liczbową na przedziały według miejsc zerowych: $(-\infty, 0)$, $(0, \frac{8}{13})$, $(\frac{8}{13}, +\infty)$. 11. Sprawdźmy znak wyrażenia $\frac{13x - 8}{x}$ na każdym przedziale: - Dla $x < 0$: licznik $13x - 8 < 0$, mianownik $x < 0$, więc ułamek jest dodatni (bo minus przez minus daje plus). - Dla $0 < x < \frac{8}{13}$: licznik $13x - 8 < 0$, mianownik $x > 0$, więc ułamek jest ujemny. - Dla $x > \frac{8}{13}$: licznik $13x - 8 > 0$, mianownik $x > 0$, więc ułamek jest dodatni. 12. Uwzględniając nierówność $\geq 0$ i wykluczając $x=0$, rozwiązaniem jest: $$(-\infty, 0) \cup \left[\frac{8}{13}, +\infty\right)$$ 13. Ostateczna odpowiedź: $$x \in (-\infty, 0) \cup \left[\frac{8}{13}, +\infty\right)$$