1. Diberikan operasi biner $a@b = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} - 2$. Kita akan menyelesaikan persamaan $$((c + 1)@c)@(c - 1) = (c + 1)@(c@(c - 1))$$ untuk $c \neq 0$ dan $c \neq \pm 1$.\n 2. Hitung bagian kiri: $((c + 1)@c)@(c - 1)$. Pertama, hitung $(c + 1)@c$: $$ (c + 1)@c = \frac{c + 1}{c} + \frac{c}{c + 1} - 2 $$ Gabungkan pecahan: $$= \frac{c + 1}{c} + \frac{c}{c + 1} - 2 = \frac{(c + 1)^2}{c(c + 1)} + \frac{c^2}{c(c + 1)} - 2 = \frac{(c + 1)^2 + c^2}{c(c + 1)} - 2$$ Hitung pembilang: $$ (c + 1)^2 + c^2 = (c^2 + 2c + 1) + c^2 = 2c^2 + 2c + 1 $$ Jadi: $$ (c + 1)@c = \frac{2c^2 + 2c + 1}{c(c + 1)} - 2 $$ Ubah $2$ ke pecahan yang sama: $$ 2 = \frac{2c(c + 1)}{c(c + 1)} $$ Sehingga: $$ (c + 1)@c = \frac{2c^2 + 2c + 1 - 2c(c + 1)}{c(c + 1)} = \frac{2c^2 + 2c + 1 - 2c^2 - 2c}{c(c + 1)} = \frac{1}{c(c + 1)} $$ 3. Sekarang hitung $((c + 1)@c)@(c - 1)$, yaitu: $$ \frac{1}{c(c + 1)}@(c - 1) = \frac{\frac{1}{c(c + 1)}}{c-1} + \frac{c-1}{\frac{1}{c(c+1)}} - 2 $$ Hitung setiap bagian: $$ \frac{\frac{1}{c(c + 1)}}{c-1} = \frac{1}{c(c + 1)(c - 1)} $$ $$ \frac{c-1}{\frac{1}{c(c+1)}} = (c-1)c(c+1) $$ Jadi: $$ ((c + 1)@c)@(c-1) = \frac{1}{c(c + 1)(c - 1)} + (c-1)c(c+1) - 2 $$ 4. Hitung bagian kanan: $(c + 1)@(c@(c-1))$. Pertama hitung $c@(c-1)$: $$ c@(c - 1) = \frac{c}{c - 1} + \frac{c-1}{c} - 2 $$ Gabungkan menjadi satu pecahan: $$ = \frac{c^2}{c(c-1)} + \frac{(c-1)^2}{c(c-1)} - 2 = \frac{c^2 + (c - 1)^2}{c(c-1)} - 2 $$ Hitung pembilang: $$ c^2 + (c-1)^2 = c^2 + (c^2 - 2c +1) = 2c^2 - 2c + 1 $$ Sehingga: $$ c@(c - 1) = \frac{2c^2 - 2c + 1}{c(c-1)} - 2 = \frac{2c^2 - 2c + 1 - 2c(c-1)}{c(c -1)} = \frac{2c^2 - 2c + 1 - 2c^2 + 2c}{c(c -1)} = \frac{1}{c(c-1)} $$ 5. Selanjutnya hitung $(c + 1)@(c@(c-1))$: $$ (c + 1)@\frac{1}{c(c-1)} = \frac{c + 1}{\frac{1}{c(c-1)}} + \frac{\frac{1}{c(c -1)}}{c + 1} - 2 $$ Hitung: $$ \frac{c + 1}{\frac{1}{c(c-1)}} = (c+1)c(c-1) $$ $$ \frac{\frac{1}{c(c-1)}}{c + 1} = \frac{1}{c(c-1)(c+1)} $$ Jadi: $$ (c + 1)@(c@(c-1)) = (c+1)c(c-1) + \frac{1}{c(c-1)(c+1)} - 2 $$ 6. Persamaan diberikan: $$ ((c + 1)@c)@(c - 1) = (c + 1)@(c@(c - 1)) $$ Dengan substitusi hasil langkah 3 dan 5: $$ \frac{1}{c(c + 1)(c - 1)} + (c-1)c(c+1) - 2 = (c+1)c(c-1) + \frac{1}{c(c-1)(c+1)} - 2 $$ 7. Hilangkan $-2$ dari kedua sisi: $$ \frac{1}{c(c + 1)(c - 1)} + (c-1)c(c+1) = (c+1)c(c-1) + \frac{1}{c(c-1)(c+1)} $$ Terlihat bahwa kedua ruas sama, yang artinya persamaan ini benar untuk semua $c$ yang memenuhi syarat domain yaitu $c \neq 0, \pm 1$. 8. Karena kondisi domain membatasi $c \neq 0, \pm 1$ namun tidak ada batasan lain yang membatasi nilai $c$. Jadi, "banyak nilai $c$ yang mungkin" adalah tak hingga (infinit). **Jawaban akhir:** banyak nilai $c$ yang mungkin adalah tak hingga.