1. Diketahui matriks $B$ sebagai berikut: $$B = \begin{bmatrix}-1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$$ Tentukan nilai eigen dan vektor eigen yang bersesuaian. 2. Untuk mencari nilai eigen ($\lambda$), kita gunakan persamaan karakteristik: $$\det(B - \lambda I) = 0$$ Dimana $I$ adalah matriks identitas 3x3. 3. Bentuk matriks $B - \lambda I$: $$\begin{bmatrix}-1 - \lambda & 1 & -1 \\ 1 & -1 - \lambda & -1 \\ -1 & 1 & 1 - \lambda \end{bmatrix}$$ 4. Hitung determinan dari matriks tersebut: $$\det(B - \lambda I) = (-1 - \lambda) \begin{vmatrix} -1 - \lambda & -1 \\ 1 & 1 - \lambda \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 - \lambda \end{vmatrix} + (-1) \begin{vmatrix} 1 & -1 - \lambda \\ -1 & 1 \end{vmatrix}$$ 5. Hitung setiap minor: - Minor pertama: $$(-1 - \lambda)((-1 - \lambda)(1 - \lambda) - (-1)(1))$$ - Minor kedua: $$-1(1(1 - \lambda) - (-1)(-1)) = -1((1 - \lambda) - 1) = -1(-\lambda) = \lambda$$ - Minor ketiga: $$-1(1 \cdot 1 - (-1)(-1 - \lambda)) = -1(1 - (1 + \lambda)) = -1(1 - 1 - \lambda) = -1(-\lambda) = \lambda$$ 6. Hitung minor pertama lebih lanjut: $$( -1 - \lambda ) \left( (-1 - \lambda)(1 - \lambda) + 1 \right)$$ Hitung ekspresi dalam tanda kurung: $$(-1 - \lambda)(1 - \lambda) + 1 = (-1)(1 - \lambda) - \lambda(1 - \lambda) + 1 = (-1 + \lambda) - \lambda + \lambda^2 + 1 = \lambda^2 + \lambda$$ Jadi minor pertama menjadi: $$(-1 - \lambda)(\lambda^2 + \lambda) = - (1 + \lambda)(\lambda^2 + \lambda) = - (\lambda^2 + \lambda + \lambda^3 + \lambda^2) = - (\lambda^3 + 2\lambda^2 + \lambda)$$ 7. Total determinan: $$\det(B - \lambda I) = - (\lambda^3 + 2\lambda^2 + \lambda) + \lambda + \lambda = -\lambda^3 - 2\lambda^2 - \lambda + 2\lambda = -\lambda^3 - 2\lambda^2 + \lambda$$ 8. Sederhanakan: $$-\lambda^3 - 2\lambda^2 + \lambda = 0$$ Kalikan dengan $-1$ agar lebih mudah: $$\lambda^3 + 2\lambda^2 - \lambda = 0$$ 9. Faktorkan: $$\lambda(\lambda^2 + 2\lambda - 1) = 0$$ 10. Nilai eigen pertama: $$\lambda = 0$$ 11. Cari nilai eigen lainnya dengan menyelesaikan kuadrat: $$\lambda^2 + 2\lambda - 1 = 0$$ Gunakan rumus kuadrat: $$\lambda = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$$ Jadi nilai eigen kedua dan ketiga adalah: $$\lambda_2 = -1 + \sqrt{2}, \quad \lambda_3 = -1 - \sqrt{2}$$ 12. Selanjutnya, cari vektor eigen untuk setiap nilai eigen dengan menyelesaikan: $$(B - \lambda I)\mathbf{x} = 0$$ Contoh untuk $\lambda = 0$: $$B\mathbf{x} = 0$$ Matriks: $$\begin{bmatrix}-1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$ Selesaikan sistem persamaan: - $-x_1 + x_2 - x_3 = 0$ - $x_1 - x_2 - x_3 = 0$ - $-x_1 + x_2 + x_3 = 0$ Dari persamaan pertama dan ketiga, tambahkan: $$(-x_1 + x_2 - x_3) + (-x_1 + x_2 + x_3) = -2x_1 + 2x_2 = 0 \Rightarrow x_1 = x_2$$ Dari persamaan kedua: $$x_1 - x_2 - x_3 = 0 \Rightarrow x_1 - x_1 - x_3 = 0 \Rightarrow -x_3 = 0 \Rightarrow x_3 = 0$$ Jadi vektor eigen untuk $\lambda=0$ adalah: $$\mathbf{x} = t \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, t \neq 0$$ 13. Proses serupa dapat dilakukan untuk $\lambda_2$ dan $\lambda_3$ untuk mendapatkan vektor eigen mereka. Kesimpulan: Nilai eigen matriks $B$ adalah: $$\lambda_1 = 0, \quad \lambda_2 = -1 + \sqrt{2}, \quad \lambda_3 = -1 - \sqrt{2}$$ Vektor eigen untuk $\lambda_1=0$ adalah: $$\mathbf{x} = t \begin{bmatrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$$ Vektor eigen untuk nilai eigen lain dapat dicari dengan metode yang sama.