Nilai Vektor Eigen A49B2E

1. Diberikan matriks $$B = \begin{pmatrix}4 & 0 \\ 9 & -2\end{pmatrix}$$. 2. Kita diminta mencari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks ini. 3. Nilai eigen $$\lambda$$ diperoleh dari persamaan karakteristik $$\det(B - \lambda I) = 0$$, di mana $$I$$ adalah matriks identitas. 4. Hitung $$B - \lambda I = \begin{pmatrix}4-\lambda & 0 \\ 9 & -2-\lambda\end{pmatrix}$$. 5. Tentukan determinan: $$\det(B - \lambda I) = (4-\lambda)(-2-\lambda) - (9)(0) = (4-\lambda)(-2-\lambda)$$ 6. Kembangkan: $$ (4-\lambda)(-2-\lambda) = 4(-2-\lambda) - \lambda(-2-\lambda) = -8 -4\lambda + 2\lambda + \lambda^2 = \lambda^2 - 2\lambda - 8 $$ 7. Persamaan karakteristik: $$ \lambda^2 - 2\lambda - 8 = 0 $$ 8. Faktorkan persamaan kuadrat: $$ (\lambda - 4)(\lambda + 2) = 0 $$ 9. Jadi, nilai eigen adalah: $$ \lambda_1 = 4, \quad \lambda_2 = -2 $$ 10. Cari vektor eigen untuk $$\lambda_1 = 4$$ dengan menyelesaikan: $$ (B - 4I)\mathbf{v} = 0 $$ 11. Hitung: $$ B - 4I = \begin{pmatrix}4-4 & 0 \\ 9 & -2-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 9 & -6\end{pmatrix} $$ 12. Sistem persamaan: $$ 0x + 0y = 0 $$ $$ 9x - 6y = 0 $$ 13. Dari persamaan kedua: $$ 9x = 6y \Rightarrow y = \frac{9}{6}x = \frac{3}{2}x $$ 14. Vektor eigen untuk $$\lambda_1=4$$ adalah: $$ \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix}x \\ \frac{3}{2}x\end{pmatrix} = x \begin{pmatrix}1 \\ \frac{3}{2}\end{pmatrix} $$ 15. Cari vektor eigen untuk $$\lambda_2 = -2$$ dengan menyelesaikan: $$ (B + 2I)\mathbf{v} = 0 $$ 16. Hitung: $$ B + 2I = \begin{pmatrix}4+2 & 0 \\ 9 & -2+2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6 & 0 \\ 9 & 0\end{pmatrix} $$ 17. Sistem persamaan: $$ 6x + 0y = 0 $$ $$ 9x + 0y = 0 $$ 18. Dari persamaan pertama: $$ 6x = 0 \Rightarrow x = 0 $$ 19. Karena $$x=0$$, $$y$$ bebas, maka vektor eigen untuk $$\lambda_2 = -2$$ adalah: $$ \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix}0 \\ y\end{pmatrix} = y \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix} $$ Jadi, nilai eigen dari matriks $$B$$ adalah $$4$$ dan $$-2$$ dengan vektor eigen berturut-turut: $$ \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix}1 \\ \frac{3}{2}\end{pmatrix} $$ dan $$ \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix} $$.