1. Problemet är att bestämma alla nollställen till polynomet $$p(x) = 2x^3 + x^2 - 8x + 3$$. 2. För att hitta nollställen löser vi ekvationen $$p(x) = 0$$, alltså: $$2x^3 + x^2 - 8x + 3 = 0$$ 3. Vi kan försöka faktorisera eller använda metoder som prövning av rationella rötter (rational root theorem) för att hitta rötter. 4. Efter prövning och faktorisering får vi två reella rötter: $$x = \frac{3 - \sqrt{33}}{4}$$ och $$x = \frac{-1 + \sqrt{33}}{4}$$ 5. Dessa är polynomets nollställen. 6. Nästa problem är att lösa ekvationssystemet: $$\begin{cases} -2x + 2y + 2z = 4 \\ -x - 3y + 3z = -4 \\ x - 3y = -3 \end{cases}$$ 7. Från tredje ekvationen isolerar vi $$x$$: $$x = 3y - 3$$ 8. Sätt in $$x = 3y - 3$$ i de två första ekvationerna: För första: $$-2(3y - 3) + 2y + 2z = 4$$ $$-6y + 6 + 2y + 2z = 4$$ $$-4y + 2z = -2$$ För andra: $$-(3y - 3) - 3y + 3z = -4$$ $$-3y + 3 - 3y + 3z = -4$$ $$-6y + 3z = -7$$ 9. Vi har nu systemet: $$\begin{cases} -4y + 2z = -2 \\ -6y + 3z = -7 \end{cases}$$ 10. Multiplicera första ekvationen med 3 och andra med 2 för att eliminera $$z$$: $$-12y + 6z = -6$$ $$-12y + 6z = -14$$ 11. Subtrahera ekvationerna: $$(-12y + 6z) - (-12y + 6z) = -6 - (-14)$$ $$0 = 8$$ vilket är en motsägelse. 12. Detta innebär att systemet saknar lösning. Slutsats: - Polynomet har nollställena $$x = \frac{3 - \sqrt{33}}{4}$$ och $$x = \frac{-1 + \sqrt{33}}{4}$$. - Ekvationssystemet saknar lösning.