1. **Problemstellung:** Wir wollen verstehen, wie viele Nullstellen eine ganzrationale Funktion dritten Grades haben kann. 2. **Definition:** Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat die Form $$f(x) = a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0$$ mit $$a_3 \neq 0$$. 3. **Linearfaktoren:** Jede Nullstelle entspricht einem Linearfaktor der Form $$(x - x_i)$$, wobei $$x_i$$ eine Nullstelle ist. 4. **Maximale Anzahl Nullstellen:** Da der Grad der Funktion 3 ist, kann sie höchstens 3 Linearfaktoren haben, also höchstens 3 Nullstellen. 5. **Beispiel 1:** Die Funktion $$f(x) = x^3 - 4x$$ lässt sich faktorisieren als $$f(x) = x(x^2 - 4) = x(x + 2)(x - 2)$$. 6. **Nullstellen von f:** Setze jeden Faktor gleich Null: - $$x = 0$$ - $$x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2$$ - $$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$$ Somit hat $$f$$ genau 3 Nullstellen: $$0, -2, 2$$. 7. **Beispiel 2:** Die Funktion $$g(x) = x^3 + x$$ kann man schreiben als $$g(x) = x(x^2 + 1)$$. 8. **Nullstellen von g:** Setze jeden Faktor gleich Null: - $$x = 0$$ - $$x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -1$$, was keine reelle Lösung hat. Somit hat $$g$$ nur eine Nullstelle: $$0$$. 9. **Fazit:** Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat also mindestens eine und höchstens drei Nullstellen. 10. **Wichtig:** Nicht jeder Faktor muss eine reelle Nullstelle haben, z.B. $$x^2 + 1$$ hat keine reelle Nullstelle. 11. **Zusammenfassung:** Die Anzahl der Nullstellen hängt von den Faktoren ab, aber maximal sind es so viele wie der Grad der Funktion, also 3 bei Grad 3.