1. **Problemstellung:** Gegeben ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades $g(x) = ax^3 - cx$ mit $a \neq 0$ und $c > 1$. Es soll gezeigt werden, dass $g$ drei Nullstellen hat und die mittlere Nullstelle den gleichen Abstand zu den beiden äußeren Nullstellen besitzt. 2. **Nullstellen bestimmen:** Setze $g(x) = 0$: $$ax^3 - cx = 0$$ Faktorisieren: $$x(ax^2 - c) = 0$$ Daraus folgen die Nullstellen: $$x_1 = 0$$ $$ax^2 - c = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{c}{a} \Rightarrow x_{2,3} = \pm \sqrt{\frac{c}{a}}$$ 3. **Anzahl der Nullstellen:** Da $a \neq 0$ und $c > 1$, ist $\frac{c}{a} > 0$ (weil $a$ und $c$ beide positiv oder beide negativ sein müssen, um $g$ so zu definieren). Somit sind $x_2$ und $x_3$ reelle und verschiedene Nullstellen. Insgesamt hat $g$ also drei Nullstellen: $-\sqrt{\frac{c}{a}}$, $0$, $\sqrt{\frac{c}{a}}$. 4. **Abstand der Nullstellen:** Die Nullstellen liegen symmetrisch um $0$: Abstand zwischen $x_1=0$ und $x_2 = -\sqrt{\frac{c}{a}}$ ist $$|0 - (-\sqrt{\frac{c}{a}})| = \sqrt{\frac{c}{a}}$$ Abstand zwischen $x_3 = \sqrt{\frac{c}{a}}$ und $x_1=0$ ist $$|\sqrt{\frac{c}{a}} - 0| = \sqrt{\frac{c}{a}}$$ 5. **Fazit:** Die mittlere Nullstelle $0$ hat zu den beiden äußeren Nullstellen den gleichen Abstand $\sqrt{\frac{c}{a}}$. **Endergebnis:** Die Funktion $g(x) = ax^3 - cx$ mit $a \neq 0$ und $c > 1$ hat drei Nullstellen bei $-\sqrt{\frac{c}{a}}$, $0$ und $\sqrt{\frac{c}{a}}$, wobei die mittlere Nullstelle den gleichen Abstand zu den beiden äußeren Nullstellen besitzt.