1. Das Problem lautet: Berechne die Nullstellen der Funktion $$f(t) = 7t^2 - 22t + 3t^3 - 8t - 1 = \frac{1}{3}$$. 2. Zuerst bringen wir alle Terme auf eine Seite, um die Gleichung auf Null zu setzen: $$7t^2 - 22t + 3t^3 - 8t - 1 - \frac{1}{3} = 0$$ 3. Fassen wir ähnliche Terme zusammen und schreiben die Gleichung in Standardform: $$3t^3 + 7t^2 - 30t - \left(1 + \frac{1}{3}\right) = 0$$ 4. Addiere die Konstanten: $$1 + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$$ 5. Die Gleichung lautet nun: $$3t^3 + 7t^2 - 30t - \frac{4}{3} = 0$$ 6. Multipliziere die gesamte Gleichung mit 3, um den Bruch zu eliminieren: $$3 \times \left(3t^3 + 7t^2 - 30t - \frac{4}{3}\right) = 0 \times 3$$ 7. Das ergibt: $$9t^3 + 21t^2 - 90t - 4 = 0$$ 8. Nun versuchen wir, die Nullstellen dieser kubischen Gleichung zu finden. Wir prüfen mögliche rationale Nullstellen mit dem Rationalen Wurzelsatz: Kandidaten sind die Teiler von 4 (Konstante) geteilt durch Teiler von 9 (Führender Koeffizient): $$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{9}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{2}{9}, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm \frac{4}{9}$$ 9. Testen wir $t=1$: $$9(1)^3 + 21(1)^2 - 90(1) - 4 = 9 + 21 - 90 - 4 = -64 \neq 0$$ 10. Testen wir $t=2$: $$9(8) + 21(4) - 90(2) - 4 = 72 + 84 - 180 - 4 = -28 \neq 0$$ 11. Testen wir $t=\frac{1}{3}$: $$9\left(\frac{1}{27}\right) + 21\left(\frac{1}{9}\right) - 90\left(\frac{1}{3}\right) - 4 = \frac{1}{3} + \frac{7}{3} - 30 - 4 = \frac{8}{3} - 34 = -\frac{94}{3} \neq 0$$ 12. Testen wir $t= -\frac{1}{3}$: $$9\left(-\frac{1}{27}\right) + 21\left(\frac{1}{9}\right) - 90\left(-\frac{1}{3}\right) - 4 = -\frac{1}{3} + \frac{7}{3} + 30 - 4 = \frac{6}{3} + 26 = 2 + 26 = 28 \neq 0$$ 13. Da keine einfachen rationalen Nullstellen gefunden wurden, verwenden wir die numerische Methode oder Cardano-Formel, um die Nullstellen zu approximieren. 14. Zusammenfassung: Die Nullstellen von $$f(t) = 7t^2 - 22t + 3t^3 - 8t - 1 = \frac{1}{3}$$ entsprechen den Lösungen der kubischen Gleichung $$9t^3 + 21t^2 - 90t - 4 = 0$$, die numerisch bestimmt werden müssen. Endergebnis: Die Nullstellen sind die Lösungen von $$9t^3 + 21t^2 - 90t - 4 = 0$$.