1. **Problemstellung:** Wir sollen die Schnittpunkte der Funktion $f(x) = x^2 - 8x + 7$ mit der x-Achse berechnen. Diese Schnittpunkte nennt man auch Nullstellen. 2. **Formel:** Die Nullstellen einer quadratischen Funktion $f(x) = ax^2 + bx + c$ berechnet man mit der Mitternachtsformel (Quadratische Lösungsformel): $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ 3. **Wichtig:** Die Diskriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ entscheidet über die Anzahl der Nullstellen: - Wenn $\Delta > 0$, gibt es zwei verschiedene Nullstellen. - Wenn $\Delta = 0$, gibt es eine doppelte Nullstelle. - Wenn $\Delta < 0$, gibt es keine reellen Nullstellen. 4. **Anwendung:** Für $f(x) = x^2 - 8x + 7$ gilt: - $a = 1$ - $b = -8$ - $c = 7$ Berechne die Diskriminante: $$\Delta = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36$$ 5. Da $\Delta = 36 > 0$, gibt es zwei Nullstellen. 6. Berechne die Nullstellen mit der Mitternachtsformel: $$x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 6}{2}$$ 7. Erste Nullstelle: $$x_1 = \frac{8 - 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ 8. Zweite Nullstelle: $$x_2 = \frac{8 + 6}{2} = \frac{14}{2} = 7$$ 9. Die Schnittpunkte mit der x-Achse sind somit: $$ (1, 0) \quad \text{und} \quad (7, 0) $$ 10. **Zusammenfassung:** Die Parabel schneidet die x-Achse an den Punkten $(1,0)$ und $(7,0)$.