1. Das Problem lautet: Finde die Nullstellen der Funktion $5x^4 - 198x^2 + 800 = 0$ durch Faktorisieren. 2. Wir verwenden die Substitution $y = x^2$, damit die Gleichung zu einer quadratischen Form wird: $$5y^2 - 198y + 800 = 0$$ 3. Nun faktorisieren wir die quadratische Gleichung. Wir suchen zwei Zahlen, deren Produkt $5 \times 800 = 4000$ und deren Summe $-198$ ist. 4. Die Zahlen sind $-50$ und $-80$, denn $-50 \times -80 = 4000$ und $-50 + (-80) = -130$ stimmt nicht, also müssen wir die Zahlen nochmal prüfen. 5. Korrigieren wir: Wir suchen zwei Zahlen, deren Produkt $4000$ und deren Summe $-198$ ist. 6. Die richtigen Zahlen sind $-50$ und $-80$ nicht, wir probieren $-100$ und $-40$: $-100 \times -40 = 4000$ und $-100 + (-40) = -140$ auch nicht. 7. Wir versuchen $-150$ und $-48$: $-150 \times -48 = 7200$ zu groß. 8. Wir versuchen $-100$ und $-98$: $-100 \times -98 = 9800$ zu groß. 9. Wir versuchen $-120$ und $-78$: $-120 \times -78 = 9360$ zu groß. 10. Wir versuchen $-200$ und $-20$: $-200 \times -20 = 4000$ und $-200 + (-20) = -220$ zu groß. 11. Wir versuchen $-180$ und $-18$: $-180 \times -18 = 3240$ zu klein. 12. Wir versuchen $-198$ und $-20$: $-198 \times -20 = 3960$ zu klein. 13. Wir versuchen $-100$ und $-40$ nochmal, Summe ist -140, nicht -198. 14. Da die Faktorisierung schwierig ist, verwenden wir die Mitternachtsformel (quadratische Lösungsformel): $$y = \frac{198 \pm \sqrt{(-198)^2 - 4 \times 5 \times 800}}{2 \times 5}$$ 15. Berechnen wir die Diskriminante: $$\Delta = 198^2 - 4 \times 5 \times 800 = 39204 - 16000 = 23204$$ 16. Die Wurzel von $23204$ ist $152.32$ (gerundet). 17. Also: $$y_1 = \frac{198 + 152.32}{10} = \frac{350.32}{10} = 35.032$$ $$y_2 = \frac{198 - 152.32}{10} = \frac{45.68}{10} = 4.568$$ 18. Nun zurück substituieren $y = x^2$: $$x^2 = 35.032 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{35.032} = \pm 5.92$$ $$x^2 = 4.568 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{4.568} = \pm 2.14$$ 19. Die Nullstellen der Funktion sind also: $$x = \pm 5.92, \quad x = \pm 2.14$$