1. **Problem:** Bestimmen Sie die Nullstellen der Gleichungen a) bis i) im Kopf. 2. **Formel:** Nullstellen einer Funktion sind die Werte von $x$, für die $f(x) = 0$ gilt. 3. **Lösungen:** a) $(x - 5)(x + 2) = 0$ Nullstellen: $x = 5$ oder $x = -2$ b) $(x^2 + 9)(x + 9) = 0$ $x^2 + 9 = 0$ hat keine reellen Lösungen (da $x^2 = -9$ nicht reell), also $x = -9$ c) $(x + 3)(x + \frac{1}{3}) = 0$ Nullstellen: $x = -3$ oder $x = -\frac{1}{3}$ d) $x^2(x + 6) = 0$ Nullstellen: $x^2 = 0 \Rightarrow x=0$, oder $x+6=0 \Rightarrow x=-6$ e) $(2x - 5)(5x + 2) = 0$ Nullstellen: $2x - 5=0 \Rightarrow x=\frac{5}{2}$, $5x + 2=0 \Rightarrow x=-\frac{2}{5}$ f) $x^3(x^2 - 8) = 0$ Nullstellen: $x^3=0 \Rightarrow x=0$, $x^2 - 8=0 \Rightarrow x=\pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$ g) $(4 - x^2)(2 + x^4) = 0$ $2 + x^4 = 0$ keine reellen Lösungen, $4 - x^2=0 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2$ h) $x^5 - 4x^4 = 0$ $x^4(x - 4) = 0$ Nullstellen: $x=0$ oder $x=4$ i) $(x^2 + 2)(x - 5) = 0$ $x^2 + 2=0$ keine reellen Lösungen, $x - 5=0 \Rightarrow x=5$ 4. **Zuordnung der Lösungskarten:** a) $x=5, -2$ entspricht Karte A (x=5) und C (x=2, -2) passt nicht genau, aber A ist passend für $x=5$. b) $x=-9$ entspricht Karte T. c) $x=-3, -\frac{1}{3}$ entspricht Karte O. d) $x=0, -6$ entspricht Karte P. e) $x=\frac{5}{2}, -\frac{2}{5}$ entspricht Karte F. f) $x=0, \pm 2\sqrt{2}$; $2\sqrt{2} \approx 2.828$; keine Karte mit genau diesen Werten, aber S hat $8$ und $-6$, nicht passend. g) $x=\pm 2$ entspricht Karte C. h) $x=0, 4$ entspricht Karte D. i) $x=5$ entspricht Karte A. --- 2a. **Problem:** Welches Verfahren eignet sich als erster Schritt zur Berechnung der Nullstellen der Funktionen $f_1$ bis $f_{10}$? - **Lösungsformel:** Für quadratische Gleichungen. - **Substitution:** Für Gleichungen, die sich durch Ersetzen einer Potenz vereinfachen lassen. - **Ausklammern:** Für Gleichungen, bei denen ein gemeinsamer Faktor herausgezogen werden kann. **Analyse:** $f_1(x) = x^2 + x$ Ausklammern: $x(x+1)$ $f_2(x) = 5x^5 + 3x^3 + x$ Ausklammern: $x(5x^4 + 3x^2 + 1)$ $f_3(x) = 4x^4 - 2x^2 + 1$ Substitution: $y = x^2$, dann $4y^2 - 2y + 1$ $f_4(x) = 6x^3 - 24x$ Ausklammern: $6x(x^2 - 4)$ $f_5(x) = -5x^2 + 8x - 2$ Lösungsformel (quadratisch) $f_6(x) = x^4 - 10x^2 + 9$ Substitution: $y = x^2$ $f_7(x) = x^4 - 3x^2$ Ausklammern: $x^2(x^2 - 3)$ $f_8(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x$ Ausklammern: $2x(x^2 - 3x + 2)$ $f_9(x) = 8x^9 + 9x^8$ Ausklammern: $x^8(8x + 9)$ $f_{10}(x) = 3x^2 - 2x - 8x = 3x^2 - 10x$ Ausklammern: $x(3x - 10)$ 2b. **Nullstellen von $f_4$, $f_7$, $f_8$:** $f_4(x) = 6x^3 - 24x = 6x(x^2 - 4) = 6x(x-2)(x+2)$ Nullstellen: $x=0, 2, -2$ $f_7(x) = x^4 - 3x^2 = x^2(x^2 - 3)$ Nullstellen: $x=0, x=\pm \sqrt{3}$ $f_8(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x = 2x(x^2 - 3x + 2) = 2x(x-1)(x-2)$ Nullstellen: $x=0, 1, 2$ --- 3. **Graphen zuordnen:** $f(x) = x^5 - x^2 = x^2(x^3 - 1)$ Nullstellen: $x=0$ (doppelte Nullstelle wegen $x^2$), $x=1$ $g(x) = 2x^3 + 2x^2 = 2x^2(x+1)$ Nullstellen: $x=0$ (doppelte Nullstelle), $x=-1$ $h(x) = \frac{1}{2}x^5 - 2x^3 = \frac{1}{2}x^3(x^2 - 4) = \frac{1}{2}x^3(x-2)(x+2)$ Nullstellen: $x=0$ (dreifache Nullstelle), $x=2$, $x=-2$ **Graph A:** Hat Nullstellen bei $x \approx -2, 0, 2$ mit lokalen Extrema, passt zu $h(x)$ **Graph B:** Nullstellen bei $x=-1, 0$, passt zu $g(x)$ **Graph C:** Nullstellen bei $x=0, 1$, passt zu $f(x)$ --- **Endantwort:** - Aufgabe 1: Lösungen und Karten zugeordnet wie oben. - Aufgabe 2a: Verfahren zugeordnet wie oben. - Aufgabe 2b: Nullstellen berechnet. - Aufgabe 3: Graphen zugeordnet: $f$: Graph C; $g$: Graph B; $h$: Graph A.