1. **Problemstellung:** Berechnen Sie die Nullstellen der ganzrationalen Funktionen mittels Polynomdivision für die Aufgaben c) und e): c) $$f(x) = -x^4 + 4x^3 - 16x + 16$$ e) $$f(x) = x^4 + 3x^3 - 15x^2 - 19x + 30$$ 2. **Wichtiges Vorgehen:** - Zuerst eine Nullstelle durch Probieren finden. - Dann Polynomdivision durchführen, um den Funktionsterm durch $$x - x_{N1}$$ zu dividieren. - Die Nullstellen des entstandenen Terms kleineren Grades bestimmen (z.B. mit p-q-Formel bei Grad 2). --- ### Aufgabe c) 3. **Nullstelle durch Probieren finden:** Wir testen einfache Werte wie $$x=1$$: $$f(1) = -1 + 4 - 16 + 16 = 3 \neq 0$$ $$x=2$$: $$f(2) = -16 + 32 - 32 + 16 = 0$$ Also ist $$x=2$$ eine Nullstelle. 4. **Polynomdivision:** Dividiere $$f(x)$$ durch $$x - 2$$: Dividend: $$-x^4 + 4x^3 - 16x + 16$$ Divisor: $$x - 2$$ Multipliziere und subtrahiere Schrittweise: $$\frac{-x^4 + 4x^3 - 16x + 16}{x - 2} = -x^3 + 2x^2 + 4x - 8$$ Zwischenschritt mit Kürzung: $$\frac{-\cancel{x^4} + 4x^3 - 16x + 16}{\cancel{x} - 2} = -x^3 + 2x^2 + 4x - 8$$ 5. **Faktorisiere das Ergebnis:** $$-x^3 + 2x^2 + 4x - 8 = -(x^3 - 2x^2 - 4x + 8)$$ 6. **Weitere Nullstellen finden:** Probieren wir $$x=2$$ erneut: $$2^3 - 2\cdot 2^2 - 4\cdot 2 + 8 = 8 - 8 - 8 + 8 = 0$$ Also ist $$x=2$$ auch eine Nullstelle des kubischen Terms. 7. **Polynomdivision erneut:** Dividiere $$x^3 - 2x^2 - 4x + 8$$ durch $$x - 2$$: Ergebnis: $$x^2 - 4$$ 8. **Quadratische Gleichung lösen:** $$x^2 - 4 = 0$$ $$x^2 = 4$$ $$x = \pm 2$$ 9. **Alle Nullstellen von c):** $$x = 2$$ (dreifach), da $$x=2$$ dreimal als Nullstelle auftritt, und $$x = -2$$ --- ### Aufgabe e) 10. **Nullstelle durch Probieren finden:** Teste $$x=2$$: $$2^4 + 3\cdot 2^3 - 15\cdot 2^2 - 19\cdot 2 + 30 = 16 + 24 - 60 - 38 + 30 = -28 \neq 0$$ Teste $$x=3$$: $$81 + 81 - 135 - 57 + 30 = 0$$ Also ist $$x=3$$ eine Nullstelle. 11. **Polynomdivision:** Dividiere $$f(x)$$ durch $$x - 3$$: Ergebnis: $$x^3 + 6x^2 + 3x - 10$$ 12. **Weitere Nullstellen finden:** Probieren wir $$x=1$$: $$1 + 6 + 3 - 10 = 0$$ Also ist $$x=1$$ eine Nullstelle. 13. **Polynomdivision erneut:** Dividiere $$x^3 + 6x^2 + 3x - 10$$ durch $$x - 1$$: Ergebnis: $$x^2 + 7x + 10$$ 14. **Quadratische Gleichung lösen:** $$x^2 + 7x + 10 = 0$$ Faktorisieren: $$(x + 5)(x + 2) = 0$$ 15. **Nullstellen:** $$x = -5, x = -2$$ 16. **Alle Nullstellen von e):** $$x = 3, x = 1, x = -5, x = -2$$ --- **Endergebnis:** - Aufgabe c) Nullstellen: $$x = 2$$ (dreifach), $$x = -2$$ - Aufgabe e) Nullstellen: $$x = 3, 1, -5, -2$$