1. **Problem statement:** Berechnen Sie die Nullstellen der quadratischen Funktion $h(x) = x^2 + 6x + 9$. 2. **Formel:** Die Nullstellen einer quadratischen Funktion $ax^2 + bx + c = 0$ berechnet man mit der Mitternachtsformel: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ Wichtig: Der Ausdruck unter der Wurzel, $\Delta = b^2 - 4ac$, heißt Diskriminante und entscheidet über die Anzahl der Nullstellen. 3. **Einsetzen der Werte:** Für $h(x)$ gilt $a=1$, $b=6$, $c=9$. $$\Delta = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0$$ 4. **Berechnung der Nullstellen:** Da $\Delta=0$, gibt es genau eine doppelte Nullstelle. $$x = \frac{-6 \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3$$ 5. **Antwort:** Die Funktion $h(x)$ hat eine doppelte Nullstelle bei $x = -3$. --- 1. **Problem statement:** Berechnen Sie die Nullstellen der quadratischen Funktion $g(x) = 2x^2 + 15x - 8$. 2. **Formel:** Wieder verwenden wir die Mitternachtsformel: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ 3. **Einsetzen der Werte:** Für $g(x)$ gilt $a=2$, $b=15$, $c=-8$. $$\Delta = 15^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-8) = 225 + 64 = 289$$ 4. **Berechnung der Nullstellen:** Da $\Delta=289$, gibt es zwei reelle Nullstellen. $$x = \frac{-15 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 2} = \frac{-15 \pm 17}{4}$$ 5. **Nullstellen einzeln:** - Für $+$: $$x = \frac{-15 + 17}{4} = \frac{2}{4} = \frac{\cancel{2}}{\cancel{4}} = \frac{1}{2}$$ - Für $-$: $$x = \frac{-15 - 17}{4} = \frac{-32}{4} = -8$$ 6. **Antwort:** Die Funktion $g(x)$ hat zwei Nullstellen bei $x = \frac{1}{2}$ und $x = -8$.